Свойства математического ожидания случайной величины

1.Математическое ожидание постоянной равно этой постоянной, т.е. если с – постоянная, то MX = c.

Доказательство. Постоянную можно рассматривать как случайную величину, принимающую значения с с постоянной вероятностью p = 1, тогда по формуле (1) имеем

MX = 1c = c.

2. M(сX) = сMX.

Это свойство следует из теорем 1, 2.

3. Если определены MX и MY, то

M (X + Y) = MX + MY,

причем это свойство верно как для зависимых, так и для независимых случайных величин.

Доказательство. Докажем это свойство для конечных дискретных случайных величин. В соответствии с определением суммы случайных величин X+Y представляют случайную величину, которая принимает значения xi + yj с вероятностью

pij = P[(X = xi), (Y = yj)],

поэтому

M(X + Y) = Свойства математического ожидания случайной величины - student2.ru .

Так как в первой двойной сумме xi не зависит от индекса j, по которому ведется суммирование по второй сумме, и аналогично, во второй двойной сумме yj не зависит от индекса i , то

M(X + Y)= Свойства математического ожидания случайной величины - student2.ru

Мы воспользовались свойством, что Свойства математического ожидания случайной величины - student2.ru (см. лекцию 8)

4. Если Х и Y независимы, то M (X Y) = MX MY

Доказательство.

M(X,Y) = Свойства математического ожидания случайной величины - student2.ru

Пример 1. Найдем математическое ожидание нормальной случайной величины Х ~ N(a, s).

Свойства математического ожидания случайной величины - student2.ru

Таким образом, МХ = а.

Пример 2. Найдем математическое ожидание числа успехов в n испытаниях Бернулли.

Пусть Х имеет биномиальное распределение: Свойства математического ожидания случайной величины - student2.ru .

Обозначим через Xi – случайную величину, равную числу успехов в i-м испытании, тогда

Р(Хi = 0) = q, Р(Хi = 1) = p, MXi = 0q + 1p=p, но

Свойства математического ожидания случайной величины - student2.ru

Таким образом, МХ = np.

ЛЕКЦИЯ 14. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН (продолжение)

Пусть Z = (X,Y) – двумерная случайная величина. Рассмотрим, как найти условное среднее случайной величины Z при условии, что Y = y. Предположим, что Z – дискретная случайная величина, pij = P(X = xi, Y = yj), Свойства математического ожидания случайной величины - student2.ru . На предыдущих лекциях (лекция 8) нами было показано, что

Свойства математического ожидания случайной величины - student2.ru ; Свойства математического ожидания случайной величины - student2.ru ,

и что условные вероятности

Свойства математического ожидания случайной величины - student2.ru ; Свойства математического ожидания случайной величины - student2.ru

удовлетворяют условиям

Свойства математического ожидания случайной величины - student2.ru

Поэтому при фиксированных уj и хi, вероятности P(X = xi/Y = yj), P(Y = yj/X = xi) можно рассматривать как условные распределения случайных величин Х (при условии, что Y = yj) и Y (при условии, что Х = хi). Тогда

Свойства математического ожидания случайной величины - student2.ru

Свойства математического ожидания случайной величины - student2.ru

Предположим, что Z – непрерывная двумерная случайная величина, pz(Х,Y) – плотность Z; px(x) – плотность X; py(y) – плотность Y. Тогда условную плотность распределения Х при условии, что Y = y, определим

Свойства математического ожидания случайной величины - student2.ru ,

а условную плотность распределения Y при условии, что Х = х, определим

Свойства математического ожидания случайной величины - student2.ru .

Найдем условное математическое ожидание Х при условии, что Y = y в соответствии с формулой (2) предыдущей лекции

M(X/y) = M(X/Y = y)= Свойства математического ожидания случайной величины - student2.ru

Аналогично,

Свойства математического ожидания случайной величины - student2.ru .

Функция fx(y) = М(Х/у) каждому у ставит в соответствие условное математическое ожидание Х при условии, что Y = y, т.е. она отражает зависимость от у условного среднего Х. Функция fx(y) = М(Х/у) называется функцией регрессии Х на У.

Аналогично, функция fу(х) = М(Y/x) называется функцией регрессии Y на Х.

Найдем математическое ожидание от математического ожидания М(X/у). Ограничимся рассмотрением дискретных случайных величин.

Свойства математического ожидания случайной величины - student2.ru

Таким образом, M(M(X/y)) = MX и называется формулой полного математического ожидания.

Наши рекомендации