Производная показательно-степенной функции

Рационально использовать логарифмическое дифференцирование и при нахождении производной показательно-степенной (или степенно-показательной) функции или "функции в степени функция", то есть в случае, когда заданная функция имеет вид Производная показательно-степенной функции - student2.ru . Логарифмируем левую и правую часть:

Производная показательно-степенной функции - student2.ru

далее по свойствам логарифма

Производная показательно-степенной функции - student2.ru

Тогда

Производная показательно-степенной функции - student2.ru

Производную в левой части равенства находим как производную сложной функции, а в правой - как производную произведения:

Производная показательно-степенной функции - student2.ru

Производная показательно-степенной функции - student2.ru

Если независимая переменная Производная показательно-степенной функции - student2.ru и функция Производная показательно-степенной функции - student2.ru связаны уравнением вида Производная показательно-степенной функции - student2.ru , которое не разрешено относительно Производная показательно-степенной функции - student2.ru , то функция Производная показательно-степенной функции - student2.ru называется неявной функцией переменной Производная показательно-степенной функции - student2.ru .

Всякую явно заданную функцию Производная показательно-степенной функции - student2.ru можно записать в неявном виде Производная показательно-степенной функции - student2.ru . Обратно сделать не всегда возможно.

Несмотря на то, что уравнение Производная показательно-степенной функции - student2.ru не разрешимо относительно Производная показательно-степенной функции - student2.ru , оказывается возможным найти производную от Производная показательно-степенной функции - student2.ru по Производная показательно-степенной функции - student2.ru . В этом случае необходимо продифференцировать обе части заданного уравнения, рассматривая функцию Производная показательно-степенной функции - student2.ru как функцию от Производная показательно-степенной функции - student2.ru , а затем из полученного уравнения найти производную Производная показательно-степенной функции - student2.ru .

Билет №30. Дифференциал ф-и, его геометрический смысл. Основные формулы и правила для дифференциалов.

Пусть функция Производная показательно-степенной функции - student2.ru дифференцируема в точке Производная показательно-степенной функции - student2.ru , то есть приращение этой функции можно представить в виде суммы двух слагаемых: линейного относительно Производная показательно-степенной функции - student2.ru и нелинейного членов:

Производная показательно-степенной функции - student2.ru

где Производная показательно-степенной функции - student2.ru при Производная показательно-степенной функции - student2.ru .

Дифференциалом функции называется линейная относительно Производная показательно-степенной функции - student2.ru часть приращения функции. Она обозначается как Производная показательно-степенной функции - student2.ru или Производная показательно-степенной функции - student2.ru . Таким образом:

Производная показательно-степенной функции - student2.ru

Замечание

Дифференциал функции составляет основную часть ее приращения.

Замечание

Наряду с понятием дифференциала функции вводится понятие дифференциала аргумента. По определению дифференциал аргумента есть приращение аргумента:

Производная показательно-степенной функции - student2.ru

Замечание

Формулу для дифференциала функции можно записать в виде:

Производная показательно-степенной функции - student2.ru

Отсюда получаем, что

Производная показательно-степенной функции - student2.ru

Итак, это означает, что производная может быть представлена как обыкновенная дробь - отношение дифференциалов функции и аргумента.

Геометрический смысл дифференциала

Дифференциал функции в точке Производная показательно-степенной функции - student2.ru равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в этой точке, соответствующему приращению аргумента Производная показательно-степенной функции - student2.ru .

Правила вычисления дифференциалов

1. Константу можно выносить за знак дифференциала.

Производная показательно-степенной функции - student2.ru

2. Дифференциал суммы/разности.

Дифференциал суммы/разности функций равен суме/разности дифференциалов от каждого из слагаемых.

Производная показательно-степенной функции - student2.ru

3. Дифференциал произведения.

Производная показательно-степенной функции - student2.ru

4. Дифференциал частного.

Производная показательно-степенной функции - student2.ru

5. Дифференциал константы равен нулю.

Производная показательно-степенной функции - student2.ru

Билет №31. Инвариантность формы дифференциала первого порядка. Приложение дифференциалов к приближенным вычислениям.

Производная показательно-степенной функции - student2.ru

Производная показательно-степенной функции - student2.ru

Производная показательно-степенной функции - student2.ru

Производная показательно-степенной функции - student2.ru

Производная показательно-степенной функции - student2.ru

Билет №32. Производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков. Нарушение формы дифференциалов высших порядков.

Производные высших порядков

Если функция Производная показательно-степенной функции - student2.ru имеет производную в каждой точке Производная показательно-степенной функции - student2.ru своей области определения, то ее производная Производная показательно-степенной функции - student2.ru есть функция от Производная показательно-степенной функции - student2.ru . Функция Производная показательно-степенной функции - student2.ru , в свою очередь, может иметь производную, которую называют производной второго порядка функции Производная показательно-степенной функции - student2.ru (или второй производной) и обозначают символом Производная показательно-степенной функции - student2.ru . Таким образом

Производная показательно-степенной функции - student2.ru

Наши рекомендации