Уравнения равновесия внутреннего малого элемента
Основное отличие теории упругости от сопротивления материалов и строительной механики заключается в следующем. В последних двух дисциплинах используется метод сечений, в котором конструкцию делят на две части. Воздействие одной части на другую заменяют силами и моментами. Эти воздействия находятся из условия, что любая часть конструкции находит в покое. Например, для конструкции, изображенной на рис.1.1, уравнения равновесия отсеченной части имеют вид:
Отсюда:
Рис.1.1
В теории упругости из конструкции сечениями выделяется малый элемент (рис.1.2). На него со всех сторон соседние элементы воздействуют давлениями (распределенными по поверхности нагрузками) σх, σу, σz, τху, τyz, τxz, которые называются напряжениями. Для этого элемента записываются уравнения равновесия, физические соотношения, связывающие напряжения с кинематическими параметрами этого элемента. Совокупность таких уравнений для всех микрочастиц и является объектом изучения теории упругости. Составим уравнения равновесия для малого элемента, изображенного на рис.1.2. Для простоты ограничимся напряжениями σх, σу, τxy , τyх .
Рис.1.2
Первый индекс в обозначении касательных напряжений показывает площадку, на которую действует напряжение, второй индекс показывает направление.
Правиладля изображения положительного направления напряжений приведены на рис.1.3.
Рис.1.3
Нормаль к грани выбирают так, что она направлена наружу от рассматриваемого элемента. Если направление нормали совпадает с осью х, то положительные σх, τху, τхz направлены в положительном направлении осей х, у, z, если нет, то напряжения направлены в обратную сторону.
Малые величины, на которые различаются напряжения на правой и левой гранях элемента, обозначим через dσх, dσу, dτxy.
Поскольку малая частица является частью всего тела, то эта частица тоже находится в покое, поэтому можем записать уравнения его равновесия в виде:
. (1.1)
. (1.2)
Из первого уравнения вытекает:
. (1.3)
Это уравнение делим на объем . В результате после упрощений получим:
. (1.4)
Если имеется воздействие по оси z, то в уравнение добавляется еще одно слагаемое .
На тело, кроме внешних поверхностных сил могут действовать объемные силы (например, удельный вес). Обозначим эти силы через qx , qy, qz.
Рис.1.4
Вес параллелепипеда с удельным весом qx будет:
.
Поэтому в уравнение равновесия (1.4) добавится удельный вес qx.
Таким образом, в общем случае уравнения равновесия примут следующий вид:
(1.5)
Эти соотношения называются дифференциальными уравнениями равновесия внутреннего малого элемента (другими словами, уравнения в приращениях).
Из уравнений равновесия (1.2) вытекает закон парности касательных напряжений,которые приведем без вывода:
.(1.6)
В балках-стенках, плитах, оболочках, используемых, например, в строительстве, как правило, σz, τyz, τxz очень малы. В результате получим следующую более простую систему уравнений:
(1.7)