Нелинейные задачи строительной механики.

Нелинейные задачи строительной механики.

Лекция 2. Расчет конструкции из нелинейно упругого материала.

Рассмотрим ж/б колонну

F

Дано: Абет=0,2 м2; Аарм=0,004 м2; Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru =30000 МПа; Е1=800; Е2=40000;

F=2 МН.

Найти: Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Решение: Запишем уравнение равновесия:

F

Nарм

Nбет

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Решений бесконечно.

Привлекаем геометрические соображения.

Деформации бетона и арматуры одинаковы.

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Решаем методом последовательных приближений. Считаем до тех пор, пока разница между значениями ε не будет меньше 5%.

1 шаг: Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

2 шаг: Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

3 шаг: Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

4 шаг: Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Вычислим напряжения:

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Примечание: Согласно ГОСТам диаграммы для бетона должны быть с ниспадающей ветвью. Прохождение точки экстремума при неизвестных деформациях по заданным σ представляет сложную математическую задачу. Для решения таких задач разработаны разные подходы (например, метод продолжения по параметру процесса: длина дуги диаграммы F(ε), работы внешних сил).

Дано: σ=6 МПа; σ=11 МПа; σ=18 МПа; σ=16МПа; ε=0,001; ε=0,0015; ε=0,002; ε=0,003; Е0=30000 МПа.

Найти: Е1, Е2

Решение: Т.к. число уравнений больше числа неизвестных, то используем условие минимума невязки между экспериментальными и расчетными значениями σ.

Перепишем уравнение


Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

в виде: Е1*ε+Е2*ar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru = Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Подставив значения, получим:

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Используем метод минимизации квадратичной невязки.

Пусть имеется переопределенная система уравнений Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru .

Найдем невязку Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru .

В качестве нормы Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru . Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru .

По теореме Ферма Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru .

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Запишем матрицы:

B= Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru b= Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru x= Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Получим:

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Решение Е1=8,1*102

Е2=4,2*104

Примечание:

3. Е0, Е1, Е2 называются механическими характеристиками материала.

Е0 – начальный модуль упругости. Е0= Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Е= Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru - секущий модуль упругости.

Δσ

Δε

α0 α

По ГОСТ Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru – тангенсальный модуль упругости.

Тангесальный модуль упругости используется редко, поскольку требует сложных методов расчета (метод Ньютона).

4. К сожалению, задачи отыскания механических характеристик Е1, Е2, Е0

является математически неустойчивой, т.е. малые изменения экспериментальных данных вызывают большие изменения Е1, Е2.

Расчет ЖБК с учетом ползучести

Дано: Абет, μ, Р, Ебет, 𝞰бет, Еарм, С.

Найти: 𝜎арм(t), 𝜎бет(t) - ?

Р

Решение: Уравнение равновесия:

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

1 уравнение – 2 неизвестных → добавляем геометрическое соображение

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru (1)

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru (2)

Рассмотрим t=0: Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ruНелинейные задачи строительной механики. - student2.ru из (2) Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

r wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Следствие: как видно из (1) 𝜎бет падает, значит 𝜎арм возрастает.

Уменьшение напряжений с течение времени в конструкции называется релаксацией.

Меры деформации

1.В сопромате: линейная деформация Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru - мера деформаций Коши

2.Мера деформаций Грина Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

3.Мера деформаций Альманзи Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

4.Мера деформаций Генки Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Если Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru мало, то они все с большой точностью совпадают.

Пример: Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru , Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Коши: Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Грина: Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Альманзи: Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Генки: Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

В строительстве Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru очень мало, поэтому можно пользоваться простейшими мерами Коши.

Примечание: Аналогично можно ввести различные меры напряжений.

Например, мера напряжений Коши: Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru - (условное напряжение); мера напряжений Пиолы-Кирхгоффа: Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru .

Каждой мере деформаций может соответствовать только одна мера напряжений. Выбор осуществляется на основе закона сохранения энергии

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

В дальнейшем будем использовать меры Коши для деформаций и напряжений.

Соотношение Коши для малых деформаций при немалых перемещениях.

В линейной теории считается, что премещения и углы поворота малы. Это дает (см. рис):

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru



dx

u du

u,v – перемещения по горизонтали и вертикали.

Рассмотрим случай немалых углов поворота.

ds

ds0

Упрощение: в строительстве в основном используются стержневые и балочные элементы, поэтому рассматривают только изменения продольных элементов (см. рис.), т.е. можно считать, что рассматриваются элементы, направленные вдоль оси х, следовательно, первоначально dy = 0. Тогда

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru , Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru s w:val="24"/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>+</m:t></m:r><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:fareast="Times New Roman" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="24"/><w:sz-cs w:val="24"/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>du</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru ; Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru dv

Найдем сначала деформацию Грина

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Для дальнейшего упрощения рассуждаем от противного: пусть Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru не мало, тогда du/dx тоже не мало. Следовательно, Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru - не мало, а поскольку Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru мало, то получается противоречие. Следовательно,

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Рассмотрим задачу вычисления малой деформации Коши Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Покажем, что приближенно Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru . Действительно,

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

ПРИМЕР 1

Снова рассмотрим изгиб балки под действием продольной центральной силы Р, но предварительно изогнутой в поперечном направлении приложенными по концам сосредоточенными моментами m (см. рис. 17.12). Этот момент может быть вызван внецентренным нагружением продольной силой Р, если он имеет эксцентриситет е. Тогда m=Ре.

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Рис. 17.12

Уравнение изогнутой оси (17.1) примет вид

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru .

Поделив на Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru и принимая обозначение Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru , решение этого уравнения запишем в виде суммы однородного и частного решений

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru .

Константы В и С отыскиваем из условий закрепления:

(1): Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru на левом краю

(2): Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru на правом краю

Это дает:

(1): Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru на левом краю

(2): Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru на правом краю

Отсюда

(1): Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

(2): Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

При Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru , то есть при Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru , имеем Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru .

Тогда из выражения для В вытекает, что

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru .

Следовательно, при Р→Ркр получаем неограниченно большие прогибы:

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru .

Таким образом, при внецентренном сжатии или при наличии поперечных сил балка может получить очень большие прогибы и напряжения даже при малых сжимающих силах, но близких к Ркр.

ПРИМЕР 2

В качестве второго примера рассмотрим задачу о деформации фермы Мизеса

h
F
a
a0
l0
w
A
b
b

Рис.2.1

Для простоты будем считать Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru малым.

Сжимающие усилия будут

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru (2.1)

Перемещение Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru вызывает укорочение

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru (2.2)

Согласно закону Гука

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru (2.3)

Подставляя Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru , найденное из (2.3) в (2.1) получим

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru (2.4)

Из рисунка 2.1 видно, что

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru (2.5)

Окончательно получаем следующую связь силы Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru с перемещением Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru :

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru (2.6)

Зависимость Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru имеет вид, представленный на рис.2.2.

w
F
B
h
C
2h

Рис.2.2

Если задавать в качестве параметра процесса нагрузку Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru , то построение этой кривой вызывает известные трудности. В задачах о больших перемещениях они преодолеваются методами продолжения по различным параметрам (при этом иногда можно использовать методы смены параметра нагружения).

ПРИМЕР 3

Рассмотрим пример применения уточненных выражений для деформаций в задаче об изгибе под равномерной нагрузкой балки с неподвижными шарнирными опорами.

Точное решение.

Рассмотрим сначала решение задачи в точной постановке.

v(x)
q

q
α
α
Q
M
N
R1

Если балка жестко шарнирно закреплена, то видно, что балка удлинится, значит в ней кроме Q и M появится сила растяжения N.

Считаем, что справедлив закон Гука: Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Рассмотрим соотношения теоремы Шведлера-Журавского.

Возьмем сечение правее на Δх, тогда плечо увеличится на Δx. Значит изменение момента будет ΔМ = Q Δx Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru . При бесконечно малых приращениях Δx получим

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Таким образом, 1-я теорема не изменилась.

Вторая теорема будет модернизирована. На вертикаль кроме R, Q, q проецируется N, поэтому изменение поперечной силы будет

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

При бесконечно малых приращениях Δx получим

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Как известно из математического анализа при малых углах наклона кривой:

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru v”

Таким образом, получаем уточненное второе соотношение теоремы Шведлера-Журавского

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru (3)

Далее запишем закон Гука при изгибе

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Добавим выражение для продольных деформаций и первое соотношение теоремы Шведлера-Журавского

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru (5)

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru (6)

Добавим еще одно уравнение равновесия

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Поскольку в реальных конструкциях α мало, поэтому Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru , то получим

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Поскольку α мало, то слагаемым Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru можно пренебречь.

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Отсюда вытекает, что приближенно можно считать силу растяжения балки постоянной по ее длине:

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru (7)

Получили систему уравнений (3)-(7. Её особенность в том, что она нелинейная.

Как обычно в сопромате исключим Q, M из уравнений (3), (4), (6). Тогда получим

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru (8)

Решение представимо в виде (далее продольная координата х заменена на Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru )

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru (9)

Граничные условия имеют вид

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru , Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Из этих условий получаем

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

По з. Гука s w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru . Подставим в ур. (1).

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Отсюда

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

После интегрирования получим

u = D + 1/(24 N7/2) ((6 EJ3/2 q2)/(1+ )2-(6 EJ3/2 q2)/(1+ )2+(12 EJ q2 (2 - (L-2 ξ)))/(1+ )-(12 EJ q2 (2 + (L-2 ξ)))/(1+ )+(24 N9/2 ξ)/(AE)+6 L N3/2 q2 ξ2-4 N3/2 q2 ξ3-3 q2 ξ (L2 N-2 EJ Sech[(L )/(2 )]2))

Константу D найдем из граничного условия:

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

D = (-((6 EJ3/2 q2)/(1+ )2)+(6 EJ3/2 q2)/(1+ )2+(12 EJ (2 -L ) q2)/(1+ )-(12 EJ (2 +L ) q2)/(1+ ))/(24 N7/2);

Второе граничное условие Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru дает связь q и N

q = (24 (1+ )2 N4)/(A E (-24 EJ+L2 N+2 L2 N+ L2 N)); (10)

Для отыскания зависимости усилия растяжения N, прогиба и напряжений используют следующую процедуру:

1) Задают разные значения усилия растяжения N=0; 0.1; 0.2;…

2) Находят q из соотношения (10)

3) Подставляют их в выражение (9) для прогиба и вычисляют момент из закона Гука:

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

4) После этого находят максимальное напряжение:

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Как видно из решения, процедура расчета прогибов и напряжений достаточно сложная.

Случай постоянной нагрузки.

Пусть

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Тогда получим

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Найдем критическое время: t= tкрит: Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейная теория

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Формула Гриффитса позволяет вычислить предел прочности тела с трещинами.

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru , где

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Формула Гриффитса

σ
Вырежем элемент с трещиной

b
σ=0
Δb
t

Задача: найти 𝜎*

Нарисуем силовые линии

При 𝜎* полоски начнут разрываться. Трещина возрастет на Δb.

Закон сохранения энергии: энергия растяжения полоски Э в момент разрушения тратится на разрыв межмолекулярных связей. Обозначим эту работу W*.

Обозначим W* - энергия на разрушение 1 мм2.

Чтобы разорвать полоску, совершается работа:

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Очевидно, что ℓ чем больше, тем больше b

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

В момент разрушения Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Обозначим Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru => Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Закон Пэриса

Рассмотрим циклическую нагрузку

σср
σа
σmax

Из-за действия циклической нагрузки трещина начинает расти

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Определение: Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru – первый коэффициент интенсивности напряжений.

Этот параметр показывает уровень напряженности тела с трещиной при простом растяжении.

Условие разрушения имеет вид: Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Используем закон Пэриса для оценки ресурса изделия при циклических нагрузках:

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru – скорость развития трещин

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Если 𝜎𝛼 постоянна ,то решение этого уравнения легко находится

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Начальное условие: при b = bнач => Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

n, K – эксперементальные данные для материала.

Таким образом, можем найти b

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Для материала σ* - дано из эксперимента

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Тогда можно узнать время разрушения из условия b=b* при Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Получим Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Примечание: если известен закон изменения 𝜎𝛼 = 𝜎𝛼(t), то уравнение Пэриса также легко интегрируется (аналитически или численно). В случае, когда в явном виде эта зависимость не известна, то как обычно используют пошаговое численное интегрирование. На каждом шаге определяют

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru ,

а затем вычисляем

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Гибкие конструкции

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Найти N, v.

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Запишем уравнение равновесия:

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru (1)

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Получили 2 нелинейных уравнения.

Решения такой системы не существует, поэтому она решается приближенно.

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Решение:

(1): Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

(2): Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Приближенное решение с использованием условия пологости

Более простое решение получим, если в (2) учтем, что угол наклона мал. Тогда из условия (2) следует, что усилие растяжения будет постоянным:

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Aппроксимируем Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru в виде, при котором удовлетворяются условия закрепления:

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru (3)

Здесь a - искомая константа.

Тогда из уравнения (1) вытекает, что

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru (4)

Для того, чтобы найти зависимость N от нагрузки,используем закон Гука. Удлинение ванта подсчитаем приближенно, заменив дугу двузвенной ломаной:

v0

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Из закона Гука находим

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru (5)

Выразим Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru через параметр а аппроксимирующей функции.

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru (6)

Тогда получим

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Из уравнения равновесия (4) вытекает окончательное выражение, которое связывает искомый параметр а и нагрузку

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Учитывая по соотношение (6) можно записать зависимость Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru и q:

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

P
b
h
2см
l
l=l0/2
P
l=l0∙1,5
P
l=2l0
P
l=l0

F
P
q2
q1
σ
εb1
εb2
εb0
Rb1
Rb2
Rb0

Найти допустимую нагрузку (или Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru или Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru , или Р согласно своего варианта) из условия жесткости по прогибам Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru < [ Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Исходные данные:

Класс тяжелого бетона – брать из таблицы.

Класс арматуры – А500.

Сила Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru приложена центрально.

Остальные данные взять из СП 63.13330.2012.

Использовать диаграмму деформирования бетона, арматуру считать упругой, учесть изменение геометрии колонны.

Номер схемы l0 (м) μ % b (м) h (м) q1 q2 P l1/l Класс бетона
А Б В Г Г А А А B Б
4.8 1.1 0,41 0,21 Р 0,61 В 3,5
4.9 1.2 0,42 0,22 q 0,62 В 5
5.0 1.3 0,43 0,23 q 0,63 В 7,5
5.1 1.4 0,44 0,24 P 0,64 В 10
5.2 1.5 0,45 0,25 q 0,65 В 12,5
5.3 1.6 0,46 0,26 q 0,66 В 3,5
5.4 1.7 0,47 0,27 q 0,67 В 5
5.5 1.8 0,48 0,28 P 0,68 В 7,5
5.6 1.9 0,49 0,29 q 0,69 В 10
5.7 1.0 0,50 0,30 Р 0,70 В 12,5

P
b
h
2см
l
l=l0/2
P
l=l0∙1,5
P
l=2l0
P
l=l0

F
P
q2
q1
σ
εb1
εb2
εb0
Rb1
Rb2
Rb0

Найти допустимую нагрузку (или Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru или Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru , или Р согласно своего варианта) из условия жесткости по прогибам Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru < [ Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Исходные данные:

Класс тяжелого бетона – брать из таблицы.

Класс арматуры – А500.

Сила Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru приложена центрально.

Остальные данные взять из СП 63.13330.2012.

Использовать диаграмму деформирования бетона, арматуру считать упругой, учесть изменение геометрии колонны.

Номер схемы l0 (м) μ % b (м) h (м) q1 q2 P l1/l Класс бетона
А Б В Г Г А А А B Б
4.8 1.1 0,41 0,21 Р 0,61 В 3,5
4.9 1.2 0,42 0,22 q 0,62 В 5
5.0 1.3 0,43 0,23 q 0,63 В 7,5
5.1 1.4 0,44 0,24 P 0,64 В 10
5.2 1.5 0,45 0,25 q 0,65 В 12,5
5.3 1.6 0,46 0,26 q 0,66 В 3,5
5.4 1.7 0,47 0,27 q 0,67 В 5
5.5 1.8 0,48 0,28 P 0,68 В 7,5
5.6 1.9 0,49 0,29 q 0,69 В 10
5.7 1.0 0,50 0,30 Р 0,70 В 12,5

Задача №1

  Р
Р

Дано: Аб=120см2, Аа=10см2, Р=13т, Еб=100 т/см2,

А Еа=1000 т/см2, ηб=100 тгод/см2, с=300, Δt=0,5 год

Закон ползучести Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

2А Найти: Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru в третьей нижней части через 1 год

А

Решение: Уравнение равновесия нижней части:

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

1 шаг: t=0: Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru =0

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

2 шаг: t=0,5 год, Δt=0,5 год

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

3 шаг: t=1 год, Δt=0,5 год

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Ответ: Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Задача №2

  Р
Р

Дано: Аб=0,12м2, Аа=0,01м2, Р=0,13МН, Еб=1000 МН/м2,

А Еа=10000 МН/м2, ηб=103 МНгод/м2, В=0,05 1/(МНгод/ м2),

Δt=0,5 год

2А Закон ползучести Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Закон накопления повреждений Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Найти: потерю ресурса в третьей

А нижней части через 1 год

Решение: Уравнение равновесия нижней части:

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

1 шаг: t=0: Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru =0, Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

2 шаг: t=0,5 год, Δt=0,5 год

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

3 шаг: t=1 год, Δt=0,5 год

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Нелинейные задачи строительной механики. - student2.ru

Наши рекомендации