Построение эпюр поперечной силы Q и изгибающего момента М.
Рис.3. Схема к построению эпюр Q и M
Разбиваем балку на участки, для чего проводим границы участков через точку приложения сосредоточенной силы, сосредоточенного момента, через начало и конец распределённой нагрузки. Таких границ оказывается пять, между ними расположено 4 участка.
Чтобы получать для изгибающего момента и поперечной силы одни и те же значения не только по величине, но и по знаку, условимся считать положительными: М - по часовой стрелке и Q - вверх, если при вычислениях рассматривается левая часть балки; М - против часовой стрелке и Q - вниз, если при вычислениях рассматривается правая часть балки.
Делаем сечение I-I и рассматриваем равновесие части балки длиной «Х1» левее этого сечения. К этой части приложена сосредоточенная сила Р1 и часть распределенной нагрузки qлежащая на длине «Х1» метров.
Первый участок
Длина участка 0 ≤ х1 ≤ 4,0 м
|
Вместо равномерно распределенной нагрузки можно приложить в середине участка ееравнодействующую R1 равную произведению нагрузки приходящейся на 1 погонный метр (q) на длину участка на которой она приложена (X1) - R1 = q × х 1.
Из полученного уравнения можно сделать вывод, что поперечная сила Q1 численно равна алгебраической сумме внешних поперечных нагрузок (Р1 и R1) лежащих по одну сторону от сечения I-I. Внешние поперечные нагрузки направленные вверх (Р1) входят в уравнение Q1 со знаком плюс, а вниз (R1) – со знаком минус.
Полученное уравнение для Q1 является прямолинейной зависимостью. Прямую строят по двум точкам. Значение X1 задаём в начале х1= 0 и в конце участка х 1= 4 м.
При х 1= 0; Q1 = 20 – 10 × 0 = 20 кН
При х 1= 4 м; Q1 = 20 – 10 × 4 = – 20 кН
Для определения изгибающего момента в первом сечении M1 составляем уравнение статики – сумму моментов относительно центра тяжести первого сечения.
Из полученного уравнения можно сделать вывод, что изгибающий момент М численно равен алгебраической сумме моментов от всех внешних нагрузок (Р1 и R1) лежащих по одну сторону от сечения (I-I). Моменты берутся относительно центра тяжести проведённого сечения. Внешние нагрузки действующие относительно центра тяжести проведённого сечения по часовой стрелке входят в уравнение М со знаком плюс, а против часовой стрелки со знаком минус.
После подстановки значений Р1 и q получим:
MI = 20·х1 – 5·х12–уравнение параболы.
При х 1= 0 М1= 0;
При х 1 = 4 м М1= 20 × 4 – 5 × 42 = 0.
Анализируем выражение изгибающего момента на экстремум
.
Вычисляем значения момента в сечении при х 1= 2 м.
М1= 20 · 2 – 5 · 22 = 20 кН·м.
Второй участок.
Длина участка 0 ≤ х 2 ≤ 2,0 м
|
Величина равнодействующей R2 распределённой нагрузки qбудет равна:
R2 = q · (4+ х 2).
Расстояние от вектора R2 до центра тяжести проведённого сечения равно (4+ х 2)/2.
Q2 = P1 + RA – R2 = 20 + 50 – 10 · (4+ х 2) = 30 – 10 · х 2 – прямая линия
При х 2 = 0; Q2 = 30 кН.
При х 2 = 2 м; Q2 = 30 – 10 × 2 = 10 кН.
При х 2 = 0; M2 = 0.
При х 2 = 2 м; M2 = 30 × 2 – 5 × 22 = 40 кН·м.
Третий участок
Длина участка 0 ≤ х 3 ≤ 2,0 м
Рассмотрим часть балки левее третьего сечения III-III.
Левее сечения III-III лежит вся распределённая нагрузка, равнодействующая которой R3 = q × 6. Расстояние от равнодействующей R3 до сечения III-III будет равно 3+ х 3.
Q3 = P1 + RA – R3 = 20 + 50 – 60 = 10 кН
M3 = P1 × (4+2+ х 3) + RA × (2+ х 3) – R × (3+ х 3) =
= 120 + 20 × х 3 + 100 + 50 × х 3 –180 – 60 × х 3= 40 + 10 × х 3 – прямая линия
При х 3 = 0; M3 = 40 кН·м.
При х 3 = 2 м; М3 = 40 + 10 × 2 = 60 кН·м.
Четвертый участок
Длина участка 0 ≤ х 4 ≤ 1,0 м
Рассмотрим часть балки правее сечения IV–IV. В этом случае правило знаков при составлении уравнений для Q и M меняется на противоположное.
Q4 = – RB = – 30 кН
M4 = – M0 + RВ × х 4 = 30 + 30 × х 4 – прямая линия.
При х 4 = 0; M4 = 30 кН·м.
При х 4 = 1м; М4 = 30 + 30 × 1 = 60 кН·м.
Строим эпюры поперечных сил Q и изгибающего момента М.
