ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг.
ТЕОРЕМА 2:Какую-либо ненулевую матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к матрице ступенчатого вида.
Матрица А называется ступенчатой, если она имеет вид:
, где
Замечания: 1. Условие , т.е., количество строк не больше количества столбцов, всегда может быть достигнуто транспонированием матрицы.
2. Если в ступенчатой матрице количество строк равно количеству столбцов, то такую матрицу называют треугольной.
Очевидно, что ранг ступенчатой матрицы равен , т.к. имеется минор
-го порядка, не равный нулю:
.
Таким образом, с помощью элементарных преобразований матрицу можно привести к так называемому ступенчатому виду, когда вычисление ее ранга несложно, т.к., для этого достаточно посчитать количество строк матрицы ступенчатого вида.
Пример: Вычислить ранг матрицы с помощью элементарных преобразований (выбранные строки или столбцы нумеруем с помощью римских цифр, выполняемые преобразования записываем напротив выбранных строк или столбцов)
Решение: Выполняем элементарные преобразования
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Проверить, что ранги указанных матриц равны 2, 3, 2, 1
соответственно:
2. С помощью элементарных преобразований вычислить ранг указанных матриц:
IV. «ОБРАТНАЯ МАТРИЦА».
Определение: Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице
, если при умножении матрицы
на матрицу
как справа, так и слева, получается единичная матрица:
Замечание: Только квадратная матрица имеет обратную. Матрица, обратная данной, тоже квадратная.
Определения: 1. Если определитель матрицы ≠ 0, то матрица называется невырожденной или неособенной.
Если определитель матрицы =0, то матрица называется вырожденной или особенной.
2. Присоединенная матрица , получается из матрицы
, транспонированной по отношению к матрице
, заменой элементов матрицы
на их алгебраические дополнения.
Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы):
Обратная матрица существует и единственна тогда и только тогда, когда матрица
невырожденная, т.е.
. Ее элементы вычисляются по формуле:
.
Алгоритм построения обратной матрицы 1. Вычислим определитель данной матрицы ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Пример: ![]() ![]() |
1. ![]() |
2. ![]() |
3. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
4. ![]() |
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Найти матрицу, обратную данной:
1) ; 3)
; 5)
;
2) ; 4)
; 6)
.
Проверить для матриц B и D правильность нахождения обратной матрицы (должны быть верными равенства: ).