Узловые точки на криволинейных участках профиля детали

Профиль детали, обрабатываемой фасонным резцом, состоит из сопряженных прямолинейных и криволинейных участков нескольких типов, (см. рис. 4.1, 4.2):

1) прямолинейных участков, параллельных оси детали (Т₃ – Т₄, Т₅ - Т₆);

2) прямолинейных радиальных участков (Т₇-Т₉) ;

3) прямолинейных участков, расположенных под углом к оси изделия и соответствующих коническим участкам обрабатываемой детали (Т₂ –Т₃);

4) криволинейных участков (Т₄ –Т₅) , чаще всего очерчен­ных по дуге окружности.

Каждому из прямолинейных участков профиля детали соответствует прямолинейный участок профиля инструмента (в том числе и участкам, соответствующим коническим элементам изделия). Аналогично, каждому криволинейному участку профиля дета ни соответствует криволинейный участок режущей кромки фасонного инструмента.

Любая прямая на плоскости описывается линейным уравнением, содержащим два неизвестных параметра:

А_х + В_y +C =0 или y = kх + b (4.2)

где b=С/В и k = -А/С. Тогда для однозначного описания прямой на плоскости достаточно задавать две точки, через которые проходит данная прямая, что приведет к следующей записи уравнения прямой:

=0 (4.3)

где Т₁(x₁;y₁) и Т₂(x₂;y₂) – две точки, через которые проходит заданная прямая.

Большинство кривых линий из плоскости (в том числе все кривые второго порядка - окружность, эллипс, парабола, гипербола) описываются функциями, имеющими более чем два независимых параметра. Так, для однозначного задания окружности требуется определение трех параметров, а для задания произвольного эллипса – пяти параметров (например, координат фокусов эллипса и величины большой полуоси).

Проведенные рассуждения позволяют сделать важный вывод: для однозначного описания криволинейного участ­ка профиля детали недостаточно задания координат гра­ничных точек. Помимо граничных точек, должны быть за­даны одна или несколько промежуточных точек участка. Количество необходимых промежуточных точек определяет­ся типом линии, по которой очерчен криволинейный уча­сток. Таким образом, для однозначного задания кривой линии на плоскости, как правило, требуется определение более чем двухпараметров, и, следовательно, задание более чем двух узловых точек.

Наиболее часто кривые, по которым очерчиваются криволинейные элементы профиля детали, представляют собой дуги окружностей. Для однозначного определения окружности требуется задание трех узловых точек. Так как две из трех узловых точек являются граничными точками криволинейного участка профиля детали, их координаты могут быть определены непосредственно из чертежа. Таким образом, при подготовке исходных данных для коррекционного расчета профиля стоит задача определения координат одной промежуточной точки для каждого из криволинейных участков, очерченных по дуге окружности.

Как правило, на чертеже детали участок, очерченный по дуге окружности, задается координатами центра окружности и ее радиусом (см. рис. 4.1). Таким образом, наэтапе выделения узловых точек необходимо ре­шить задачу определения координат промежуточной точкипо координатам центра окружности и ее радиусу. Решение этой задачи сводится к решению единственного квадрат­ного уравнение (уравнения окружности):

(х–х_р)² + (y–y_р)²=ρ² (4.4)

где х, у – координаты точки окружности в системе координат XY х₀, у₀ - координаты центра окружности в системе XY, ρ - радиус окружности (см. рис. 4.4).

Рис. 4.4. Схема к определению уравнения окружности

Очевидно, формула (4.4) мотет использоваться для определения лишь одной координаты искомой узловой точки. Так, для некоторой точки Т_к одна из координат (х_к или у_к) должна быть задана. Кроме того, при зада­нии значения любой из координат,
решение квадратного уравнения (4.4) даст два корня - при задании х_к будут получены значенияу_к, соответствующие точкам Т_к и Т_к* , а при задании у_к будут получены значение х_к, соответствующиеточкам Т_к и Т_к**. Выделение нужного корня квадратного уравнения (4.4) должно производиться проектировщиком на основеанализа чертежа детали.

На рис.4.5 представлены схемы, иллюстрирующие проведение расчетов координат промежуточной узловой точки применением координатных систем, определенных на чертеже детали. Последовательность вычислений, необходимых для определения координат промежуточной узловой точки криволинейного участка может быть сформулирована в виде следующего алгоритма:

1. Определить радиус окружности ρ и координаты l_р, r_р ее центра (точки О_р) в системе координат, связанной с деталью.
2. Назначить координату l_к или координату r_к искомой узловой точки. Выбор назначаемой координаты не имеет принципиального значения. Однако в практике рекомендуется назначать координату по следующему правилу: если выполняется условие

|l₁-l_j|≥|r₁-r_j|, (4.5)

то назначается координата l_к, в противном случае назначается координата r_к. Следует стремиться к тому, чтобы точка Т_к располагалась вблизи середины
участка Т₁-Т_j. Для этого ее назначаемую координату (соответственно, l_к или r_к) рассчитывают по одной из формул:

или

Для удобства последующих вычислений значение, полученное по формуле, округляется до целого числа.

Рис. 4.5. Схема к определению координат промежуточной узловой точки на участке, образованном дугой окружности

1. В уравнение окружности

(4.7)

подставляются координаты центра окружности l_ри r_р, значение радиуса окружности ρ и значение одной из координат точки Т_к (l_к или r_к ). Полупленное уравнение решается относительно второй координаты узловой точки (соответственно, l_к или r_к).

1. На основе анализа чертежа детали из полученных корней уравнения выделяется корень, определяющий искомую координату точки Т_к. Расчет ведется с точ­ностью до 0,001.