Теорема сложения и умножения вероятностей

31. Студент знает 20 из 25 вопросов по первому разделу курса и 12 из 15 вопросов по второму разделу курса. На экзамене ему случайным образом предлагается по одному вопросу из каждого раздела курса. Какова вероятность того, что студент ответит правильно: а) только на один вопрос; б) на два вопроса; в) хотя бы на один вопрос?

32. Прибор состоит из двух узлов, которые во время работы могут независимо друг от друга выходить из строя. Пусть вероятность безотказной работы первого узла в течение гарантийного срока равна 0,75, а второго - 0,8. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока прибор: а) будет работать исправно; б) выйдет из строя.

33. 2 стрелка сделали по одному выстрелу по мишени. Известно, что вероятность попадания в мишень для одного из стрелков равна 0,6, а для другого – 0,7. Найдите вероятность того, что: а) только один из стрелков попадет в мишень; б) хотя бы один из стрелков попадет в мишень; в) оба стрелка попадут в мишень; г) ни один из стрелков не попадет в мишень.

34. Стрелок выстрелил три раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в нее в начале стрельбы равна 0,8, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Найдите вероятность того, что он: а) промахнется все 3 раза; б) попадет хотя бы один раз; в) попадет 2 раза?

35. Вероятность потери письма в почтовом отделении равна 0,03, а телеграммы – 0,01. Отправлено два письма и одна телеграмма. Какова вероятность того, что дойдет: а) только телеграмма б) только одно письмо; в) хотя бы одно из отправлений?

36. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0,2. Произведены 3 независимых измерения. Найдите вероятность того, что не более чем в двух измерениях допущенная ошибка превысит заданную точность.

37. На АТС могут поступать вызовы трех типов. Вероятности поступления вызовов 1-го, 2-го и 3-го типа соответственно равны 0,2; 0,3; 0,5. Поступило три вызова. Какова вероятность того, что: а) все они одного типа; б) все они разных типов; в) среди них нет вызова 2-го типа.

38. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 – для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает: а) только один сигнализатор; б) два сигнализатора; в) хотя бы один сигнализатор.

39. Экзаменационный билет содержит 3 вопроса. Вероятность того, что студент ответит на первый и второй вопросы билета равны 0,9; на третий – 0,8. Найдите вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить: а) на все вопросы; б) хотя бы на 2 вопроса.

40. Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить 3 бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны 0,3; 0,4; 0,7.

41. Три исследователя, независимо один от другого, производят измерения некоторой физической величины. Вероятность того, что первый исследователь допустит сшибку при считывании показаний прибора, равна 0,1. Для второго и третьего исследователей эта вероятность соответственно равна 0,15 и 0,2. Найти вероятность того, что при однократном измерении допустит ошибку: а) только один из исследователей; б) два исследователя; в) хотя бы один из исследователей.

42. Три стрелка стреляют в одну и ту же мишень. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,4, для второго — 0,5, для третьего — 0,7. Определить вероятность того, что при одном выстреле каждым из стрелков будет сделана: а) одна пробоина; б) две пробоины; в) хотя бы одна пробоина.

43. Работа некоторого устройства прекращается из-за выхода из строя одного из четырех блоков. Производится последовательная замена наудачу взятого блока до тех пор, пока устройство не начнет работать (новые блоки не заменяются). Какова вероятность того, что придется заменить: а) один блок; б) оба блока; в) хотя бы один блок?

44. В мешке смешаны нити, среди которых 30% красных, 60% синих, а остальные белые. Найти вероятности того, что три вынутые наудачу нити: а) будут одного цвета; б) будут разных цветов; в) среди них не будет красного цвета.

45. В магазине имеются фотоаппараты различных фирм, причем вероятность того, что будет продан фотоаппарат “Кодак”, равна 0,6. Определить вероятность того, что из 4 проданных фотоаппаратов хотя бы один будет “Кодак”.

46. В ящике 10 деталей, среди которых 7 окрашенных. Сборщик наудачу последовательно одна за другой достает 4 детали. Найдите вероятность того, что: а) все взятые детали окрашенные; б) одна деталь окрашена; в) хотя бы одна деталь окрашена.

47. Рабочий обслуживает три станка. Для первого станка вероятность того, что он в течение часа потребует внимания рабочего, равна 0,5, для второго — 0,5, для третьего — 0,4. Определить вероятность того, что: 1) все три станка в течение часа потребуют внимания рабочего; 2) ни один станок не потребует внимания рабочего; 3) по крайней мере один станок потребует внимания рабочего.

48. Среди изготовляемых рабочим деталей в среднем 4% брака. Какова вероятность того, что среди взятых последовательно одна за другой на испытание трех деталей: а) найдется одна бракованная; б) не найдется ни одной бракованной; в) найдется хотя бы одна бракованная?

49. Студент знает 30 из 40 вопросов программы. Экзаменатор задает ему вопросы до тех пор, пока не обнаружит пробел в знаниях студента. Найти вероятность того, что будут заданы: а) два вопроса; б) более двух вопросов; в) менее трех вопросов.

50. Стрелок производит выстрел по мишени до первого попадания. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,7. Какова вероятность того, что будет произведено: а) 3 выстрела; б) менее трех выстрелов?

51. Вероятность дозвониться с первой попытки в Справочное бюро вокзала равна 0,4. Какова вероятность того, что: а) удастся дозвониться при втором звонке; б) придется звонить не более трех раз?

52. В трех залах кинотеатра идут три различных фильма. Вероятность то, что на определенный час в кассе 1-го зала есть билеты, равна 0,3, в кассе 2-го зала – 0,2, а в кассе 3-го зала – 0,4. Какова вероятность того, что на данный час имеется возможность купить билет: ) на один фильм; б) на два фильма; в) хотя бы на один фильм?

53. В сосуде 4 белых и 3 цветных шара. Из него вынимают друг за другом 2 шара. Определить вероятность того, что оба шара белые, если: а) вынутый шар возвращается обратно в сосуд; б) вынутый шар обратно в сосуд не возвращается.

54. Один студент выучил 20 из 25 вопросов программы, а второй – только 15. Каждому из них задают по одному вопросу. Найти вероятность того, что правильно ответят: а) оба студента; б) только один из них; в) хотя бы один из студентов.

55. В одной комнате находятся 4 девушки и 7 юношей, а в другой – 10 девушек и 5 юношей. Наудачу выбирают по одному человеку из каждой комнаты. Найти вероятность того, что оба они окажутся юношами или оба – девушками.

56. Экзаменационный билет содержит 3 вопроса. Вероятность того, что студент ответит на первый и второй вопросы билета равны 0,9; на третий – 0,8. Найдите вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить: а) на все вопросы; б) хотя бы на 2 вопроса.

57. Стрелок выстрелил три раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в нее в начале стрельбы равна 0,8, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Найдите вероятность того, что он: а) промахнется все 3 раза; б) попадет хотя бы один раз; в) попадет 2 раза.

58. Ящик содержит 90 годных и 10 дефективных деталей. Сборщик последовательно без возвращения достает из ящика 10 деталей. Найдите вероятность того, что среди взятых деталей: а) нет дефектных; б) хотя бы одна дефектная.

59. 2 стрелка сделали по одному выстрелу по мишени. Известно, что вероятность попадания в мишень для одного из стрелков равна 0,6, а для другого – 0,7. Найдите вероятность того, что: а) только один из стрелков попадет в мишень; б) хотя бы один из стрелков попадет в мишень; в) оба стрелка попадут в мишень; г) ни один из стрелков не попадет в мишень?

60. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0,2. Произведены 3 независимых измерения. Найдите вероятность того, что не более чем в одном измерении допущенная ошибка превысит заданную точность.