Решение задач на геометрическое определение вероятности
| 3.1. Разобрать решение задач, заполнив пропуски | |||||||||||||||||||||||||||||||
Задача1. На отрезке единичной длины случайным образом появляется точка. Найти вероятность того, что расстояние от точки до концов отрезка больше  . Решение. 
 . Его длина Значит, искомая вероятность | |||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 2.В круг радиуса  наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что она не попадет в правильный треугольник, вписанный в этот круг. Решение. В этом случае мерой множества возможных исходов является площадь круга:  а мерой множества благоприятных исходов — разность площадей круга и треугольника (площадь треугольника, вписанного в круг -  ):  Вероятность заданного события равна  | |||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 3.На отрезке  наудачу выбраны два числа  и  . Найти вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам  .
По условию задачи координаты точки Точки квадрата, координаты которых удовлетворяют неравенствам В этом случае мерой множества возможных исходов является площадь квадрата:
а мерой множества благоприятных исходов - площадь закрашенной фигуры:
Вероятность заданного события равна | |||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 4.На отрезке  длины  числовой оси  наудачу поставлены две точки:  и  , причем  . Найти вероятность того, что длина отрезка  окажется меньше, чем  . Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси. Решение.
 и  должны удовлетворять неравенствам  . Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат. В этой системе указанным неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей заштрихованному прямоугольному треугольнику. Длина отрезка В этом случае мерой множества возможных исходов является площадь заштрихованного прямоугольного треугольника:
а мерой множества благоприятных исходов - площадь закрашенной трапеции:
Вероятность заданного события равна | |||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 5. В шар вписан куб. Точка наудачу зафиксирована в шаре. Найти вероятность того, что точка попадет в куб. Решение. Введем обозначения – радиус шара,  – ребро куба. В этом случае мерой множества возможных исходов является объем шара:  а мерой множества благоприятных исходов — объем вписанного круга:  Вероятность заданного события равна  | |||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 6. Какова вероятность того, что из трех взятых наудачу отрезков длины не больше  можно построить треугольник? Решение. Обозначим длины этих отрезков через  . Из условия задачи следует, что  . Обозначим через  множество точек с координатами  для которых выполняются данные неравенства, т. е. – куб с ребром  .
.Мы его отождествим с экспериментом, состоящим во взятии точки из куба .Чтобы построить из этих трех отрезков треугольник, необходимо выполнение условий
Эти неравенства определяют тело Итак, в нашем случае мерой множества возможных исходов является объем куба с ребром
а мерой множества благоприятных исходов — объем тела
Вероятность заданного события равна | |||||||||||||||||||||||||||||||
| 3.2. Решить задачу | |||||||||||||||||||||||||||||||
| Задача 7. На отрезке длины 20 см помещен меньший отрезок длины 10 см. Найти вероятность того, что точка, поставленная на больший отрезок, попадет также и на меньший отрезок. Решение. | |||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 8. Взяты наугад два положительных числа, каждое из которых не больше единицы. Какова вероятность того, что их сумма не превзойдет единицы, а произведение будет не больше  ?Решение. | |||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 9. На отрезке длины числовой оси наудачу поставлены две точки: и , причем . Найти вероятность того, что длина отрезка окажется меньше, длины отрезка  . Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси. Решение. | |||||||||||||||||||||||||||||||
. Длина всего отрезка 
.
.
удовлетворяют системе неравенств 
. Это означает, что точка 
наудачу выбирается из множества точек квадрата, длина стороны которого равна 2.
, принадлежат фигуре, закрашенной на рис.8.
. Это неравенство выполняется для точек, которые лежат в закрашенной трапеции (рис.9).
.
(рис.10), которое получается отбрасыванием от куба трех тетраэдров, отсекаемых плоскостями 
.
Основные теоремы