Геометрическое определение вероятности

При рассмотрении классической формулы предполагалось, что пространство элементарных событий W состоит из конечного числа событий. В противном случае формула не применима. Однако на практике встречаются испытания, для которых имеется бесконечное множество возможных исходов. Например, испытание состоит в изготовлении линеек определенной длины. Невозможно получить абсолютно точные по длине линейки. Очевидно, что множество возможных исходов этого испытания, т.е. множество всевозможных длин, которые как угодно близки к требуемой длине, состоит из бесконечного числа элементов.

Для решения задач, в которых пространство элементарных событий состоит из бесконечного числа исходов, часто используют геометрическое определение вероятности события. Это определение основано на предположении о том, что вероятность попадании точки в любую часть области пропорциональна ее геометрической мере (длине, площади, объему и т.д.) и не зависит от ее формы и расположения.

Геометрической вероятностью события А называют число, определяемое по формуле:

(2.3)

где М – геометрическая мера всей области;

М_А – геометрическая мера той части области, попадание в которую благоприятствует появлению данного события А.

Например, предположим, что летящий снаряд может попасть в любую

точку плоской области W. Событие А – попадание снаряда в область К, содержащуюся в W. Тогда по формуле 2.3

,

где S_k – площадь области К;

S – площадь всей области W;

Рассмотрим следующую задачу.

Пример 2.6. Два лица условились встретиться в определенном месте между 17 и 18 часами. Пришедший первым ждет второго в течение 15 минут, после чего уходит. Определить вероятность встречи, если время прихода каждого лица независимо и равновозможно в течение указанного часа.

у

Решение. Пусть х – это количество минут, характеризующих приход первого лица, у – второго лица. Например, если х = 24, то первое лицо пришло на встречу в 17часов 24 минуты. Очевидно, что областью различных возможных значений х и у является квадрат площадью 60²=3600 кв.ед.

		х

Встреча состоится, если . Данная область лежит между прямыми и . Ее площадь

.

Искомая вероятность равна отношению этой площади к площади всего квадрата, т.е. . ■

Классическая, статистическая и геометрическая формулы – не единственные и далеко не главные для нахождения вероятности случайного события. Гораздо большее значение в теории вероятностей имеют не прямые, а косвенные методы вычисления вероятностей. Они позволяют выражать вероятности интересующих нас событий через вероятности других событий, с ними связанных: вероятности сложных событий через вероятности простых. А те, в свою очередь, через вероятности еще более простых и т.д. Цепочка тянется до тех пор, пока не доходят до элементарных событий, а их вероятности, чаще всего, уже можно вычислить по классической формуле или, что значительно реже, исходя из определения относительной частоты, используя экспериментальные данные. Приемы вычисления вероятностей сложных событий через вероятности простых будут рассмотрены в следующей главе. В заключение, рассмотрим еще одно определение вероятности, которое на сегодняшний день является основным для полных курсов теории вероятностей.