Уравнение теплопроводности (параболическое уравнение)

Типичная задача, описывающая теплоперенос вдоль одномерного стержня единичной длинны при заданном начальном распределении температуры от (x) и заданных температурных режимах на концах стержня y (t), f (t) ставится следующим образом:

t>0, 0 £ x £ 1;

U(0,x)=j (x)

U(t,0)=y (t); U(t,1)=f (t); (16.1)

Эта модельная задача является смешанной, так как содержит начальные (при t=0) и краевые условия (при x=0 и x=1). Она описывает различные диссипативные процессы (типа теплопроводности или диффузии) в твердых телах, газах, плазме, в магнитной гидродинамике, в биологии и т.д.

Областью решения задачи (16.1) будет являться полуполоса t>0, 0 £ x £ 1. Путем замены переменных дифференциальное уравнение приводится к виду:

поэтому избавимся от множителя , считая его равным единице. Тогда задача запишется в виде:

0 £ t £ T, 0 £ x £ 1;

U(0,x)=j (x);

U(t,0)=y (t); U(t,1)=f (t);

Наложим на область 0 £ t £ T, 0 £ x £ 1 сетку образованную прямыми параллельными осям координат с шагом по x равным , и шагом по t равным , т.е. где n и m количество линий сетки. Введем обозначения и заменим производную по длине центральным разностным отношением:

(16.2)

а производную по времени правым конечно-разностным отношением:

.

Подставив эти выражения в дифференциальное уравнение получим конечно-разностное уравнение справедливое для всех внутренних узлов сетки:

(16.3)

Начальные и краевые условия дадут следующие уравнения:

(16.4)

.

Таким образом, задача (16.2) сводится к системе линейных уравнений (16.3) (16.4), решив которую можно получить значения искомой функции в узлах сетки.

Конфигурация узлов, значения сеточной функции в которых определяют вид разностных уравнений, записываемых для внутренних точек сетки, называется шаблоном разностной схемы. Для схемы (3) шаблон связывает одну точку слоя (временного) с тремя точками слоя .

Введем обозначение и решим уравнение (3) относительно :

и пользуясь этим уравнением и значениями в начальных и граничных точках последовательно восстанавливать значения искомой функции в узлах сетки от слоя к слою, поэтому схема (3) называется явной.

Если заменить производную по времени левым конечно разностным уравнением:

,

то получим неявную схему связывающую три точки слоя j с одной точкой предыдущего слоя j-1:

(16.5)

,

Получаемая система линейных уравнений не эквивалентна системе с треугольной матрицей как при использовании явной схемы и для ее решения используется специальный прием позволяющий разделить систему на некоторое число систем меньшей размерности.

Рассмотрим точки первого слоя с номерами i=1, n-1. Поскольку значения искомой функции на предыдущем слое известны из начальных условий для каждой точки этого слоя получим уравнение связывающее три неизвестных, причем в крайних точках слоя значения функции известны из граничных условий, т.е. получаем систему уравнений с трехдиагональной матрицей решить которую можно методом прогонки. Затем, используя это решение можно найти значения функции на следующем слое и так далее.

При решении задач с частными производными особенно актуальным становится вопрос об устойчивости конечно-разностных схем. Пусть конечно-разностная схема с некоторым шагом h (скалярным или векторным) записывается в виде некоторого конечно-разностного оператора:

,

где - совокупность значений искомой функции в узлах сетки;

- совокупность значений правой части дифференциального уравнения в узлах сетки.

Определение. Решение полученное с помощью схемы называется устойчивым если для любого e >0 найдется ограничение шага , такое что решение возмущенной задачи с ограниченным возмущением:

; ,

будет не сильно отклоняться от решения исходной задачи:

при любых значениях шага и константе C не зависящей от шага h .

Устойчивость явной схемы (16.3) зависит от соотношения шагов h и t, при выполнении условия эта схема будет устойчивой, в противном случае, т.е. при явная схема перестает быть устойчивой. Неявная схема (16.5) устойчива при любом выборе шагов.

Задание для самостоятельной работы

1. Найти для x = 0.1m, m=0 – 10, t=0.02 решение уравнения u_t = (1/a) u_xx , 0 < x < 1, 0 < t <0.02, удовлетворяющее условиям u(0,t) =e ^at , u(1,t) = e ^{a (t-1)}, 0 < t < 0.02; u(x,0) = e^{- ax} , 0 < x < 1; a = 2 + 0.3 k, k = - 4.

а) по явной разностной схеме, взяв h = 0.1, t < ah²/2;

б) по неявной разностной схеме, взяв h = 0.1, t = 0.02.

Сравнить полученные решения.

2. Используя метод сеток, найти u(x, t) – решение задачи u_t = u_xx + (1 + ax)⁴ – 12 a ² t(1 +ax)², 0 < x < 1, 0 < t < 0.1; u(0,t) =t, u(1,t) = t (1 + a)⁴, 0 < t < 0.1; u(x,0) = 0, 0 < x < 1; a =

3. Найти решение задачи u_t = u_xx + (4x/(x ² + 2t + 1)) u_x , 0 < x < 1, 0 < t; u(0,t) = 1/(2t +1), u(1,t) = 1/(2(t + 1)), 0 < t; u(x,0) = 1/(x ² + 1), 0 < x < 1 в точках (x_m, T) x_m = 0.1m (m = 1 – 10, T = 0.1) с точностью e = 0.005.

4. Найти решение задачи u_t = u_xx + (4x/(x ² + t + 1)) u_x + x/(x ² + t + 1)², 0 < x < 1, 0 < t; u(0,t) = 0, u(1,t) = 1/(t + 2), 0 < t; u(x,0) = x/(x ² + 1), 0 < x < 1 в точках (x_m, T) x_m = 0.1m (m = 1 – 10, T = 0.4) с точностью e = 0.01.

5. Используя метод сеток, найти u(x, t) – решение задачи u_t = u_xx + (-a ² t + 1)e^-ax , 0 < x < 1, 0 < t < 0.01; u(0,t) =t, u(1,t) = t e^-a , 0 < t < 0.01; u(x,0) = 0, 0 < x < 1; a= 0.5 k, k = 2 при t = 0.01 с точностью 0.001, если !u_tt ! < 0.02, !u_xxxx ! < 6.

6. Найти решение задачи u_t = (1/2) u_xx - 4x ²/(x ² + t + 1)³, 0 < x < 1, 0 < t; u(0,t) = 1/(t + 1), u(1,t) = 1/(t + 2), 0 < t; u(x,0) = 1/(x ² + 1), 0 < x < 1 в точках (x_m, T) x_m = 0.1m (m = 1 – 10, T = 0.3) с точностью e = 0.005.

7. Найти для x = 0.1m, m=0 – 10, t=0.02 решение уравнения u_t = (1/a) u_xx , 0 < x < 1, 0 < t < 0.02, удовлетворяющее условиям u(0,t) =e ^at , u(1,t) = e ^{a ( t -1)}, 0 < t < 0.02; u(x,0) = e^{- ax} , 0 < x < 1; a = 2 + 0.3 k, k = 4:

а) по явной разностной схеме, взяв h = 0.1, t < ah²/2;

б) по неявной разностной схеме, взяв h = 0.1, t = 0.02.

Сравнить полученные решения.

8. Найти решение задачи u_t = u_xx + (4x/(x ² + t + 1)) u_x, 0 < x < 1, 0 < t; u(0,t) = 1/(2t + 1), u(1,t) = 1/(2(t + 1)), 0 < t; u(x,0) = 1/(x ² + 0.1), 0 < x < 1 в точках (x_m, T) x_m = 0.1m (m = 1 – 10, T = 0.2) с точностью e = 0.005.

9. Найти решение задачи u_t = (1/2) u_xx + 4x ²/(x ² + t + 1)³, 0 < x < 1, 0 < t; u(0,t) = 1/(t + 1), u(1,t) = 1/(t + 2), 0 < t; u(x,0) = 1/(x ² + 1), 0 < x < 1 в точках (x_m, T) x_m = 0.1m (m = 1 – 10, T = 0.2) с точностью e = 0.005.

10. Используя метод сеток, найти u(x, t) – решение задачи u_t = u_xx + (-a ² t + 1)e^-ax , 0 < x < 1, 0 < t < 0.01; u(0,t) =t, u(1,t) = t e^-a , 0 < t < 0.01; u(x,0) = 0, 0 < x < 1; a = 0.5 k, k = 4 при t = 0.01 с точностью 0.001, если !u_tt ! < 0.02, !u_xxxx ! < 6.

11. Найти решение задачи u_t = u_xx + (4x/(x ² + t + 1)) u_x + x/(x ² + t + 1)², 0 < x < 1, 0 < t; u(0,t) = 0, u(1,t) = 1/(t + 2), 0 < t; u(x,0) = x/(x ² + 1), 0 < x < 1 в точках (x_m, T) x_m = 0.1m (m = 1 – 10, T = 0.3) с точностью e = 0.01.

12. Используя метод сеток, найти u(x, t) – решение задачи u_t = u_xx + (1 + ax)⁴ – 12 a ² t (1 +ax)², 0 < x < 1, 0 < t < 0.1; u(0,t) =t, u(1,t) = t (1 + a)⁴, 0 < t < 0.1; u(x,0) = 0, 0 < x < 1; a = 1 + 0.4 k, k = 4 при t = 0.01 с точностью 0.001, если !u_tt ! < 0.02, !u_xxxx ! < 6.

13. Найти для x = 0.1m, m=0 – 10, t=0.02 решение уравнения u_t = (1/a) u_xx , 0 < x < 1, 0 < t <0.02, удовлетворяющее условиям u(0,t) =e ^at , u(1,t) = e ^{a (t-1)}, 0 < t < 0.02, u(x,0) = e^{- ax} , 0 < x < 1; a = 2 + 0.3 k, k = - 2:

а)по явной разностной схеме, взяв h = 0.1, t < ah²/2;

б) по неявной разностной схеме, взяв h = 0.1, t = 0.02.

Сравнить полученные решения.

14. Найти решение задачи u_t = (1/2) u_xx + 4x ²/(x ² + t + 1)³, 0 < x < 1, 0 < t; u(0,t) = 1/(t + 1), u(1,t) = 1/(t + 2), 0 < t; u(x,0) = 1/(x ² + 1), 0 < x < 1 в точках (x_m, T) x_m = 0.1m (m = 1 – 10, T = 0.1) с точностью e = 0.005.

15. Используя метод сеток, найти u(x, t) – решение задачи u_t = u_xx + (-a ² t + 1)e^-ax , 0 < x < 1, 0 < t < 0.01; u(0,t) =t, u(1,t) = t e^-a , 0 < t < 0.01; u(x,0) = 0, 0 < x < 1; a = 0.5 k, k = 6 при t = 0.01 с точностью 0.001, если !u_tt ! < 0.02, !u_xxxx ! < 6.

16. Найти решение задачи u_t = u_xx + (4x/(x ² + t + 1)) u_x , 0 < x < 1, 0 < t; u(0,t) = 1/(2t + 1), u(1,t) = 1/(2(t + 1)), 0 < t; u(x,0) = 1/(x ² + 0.1), 0 < x < 1 в точках (x_m, T) x_m = 0.1m (m = 1 – 10, T = 0.3) с точностью e = 0.005.

17. Используя метод сеток, найти u(x, t) – решение задачи u_t = u_xx + (1 + ax)⁴ – 12 a ² t(1 +ax)², 0 < x < 1, 0 < t < 0.1; u(0,t) =t, u(1,t) = t (1 + a)⁴, 0 < t < 0.1; u(x,0) = 0, 0 < x < 1; a = 1 + 0.4 k, k = 3 при t = 0.01 с точностью 0.001, если !u_tt ! < 0.02, !u_xxxx ! < 6.

18. Найти решение задачи u_t = u_xx + (4x/(x ² + t + 1)) u_x + x/(x ² + t + 1)², 0 < x < 1, 0 < t; u(0,t) = 0, u(1,t) = 1/(t + 2), 0 < t; u(x,0) = x/(x ² + 1), 0 < x < 1 в точках (x_m, T) x_m = 0.1m (m = 1 – 10, T = 0.2) с точностью e = 0.01.

19. Найти для x = 0.1m, m=0 – 10, t=0.02 решение уравнения u_t = (1/a) u_xx , 0 < x < 1, 0 < t <0.02, удовлетворяющее условиям u(0,t) =e ^at , u(1,t) = e ^{a (t-1)}, 0 < t < 0.02; u(x,0) = e^{- ax} , 0 < x < 1; a = 2 + 0.3 k, k = 3:

а) по явной разностной схеме, взяв h = 0.1, t < ah²/2;

б) по неявной разностной схеме, взяв h = 0.1, t = 0.02.

Сравнить полученные решения.

20. Используя метод сеток, найти u(x, t) – решение задачи u_t = u_xx + (-a ² t + 1)e^-ax , 0 < x < 1, 0 < t < 0.01; u(0,t) =t, u(1,t) = t e^-a , 0 < t < 0.01; u(x,0) = 0, 0 < x < 1; a = 0.5 k, k = 1 при t = 0.01 с точностью 0.001, если ½u_tt ê < 0.02, ½u_xxxx ê < 6.

СИНЮТИН СЕРГЕЙ АЛЕКСЕЕВИЧ

УЧЕБНОе ПОСОБИЕ

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

(часть 2)

Ответственный за выпуск Синютин С.А.

Редактор

Корректор

ЛР №020565 от 23 июня 1997г. Подписано к печати

Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная

Офсетная печать. Ус.п.л. - 6,3. Уч.-изд.л. - 6,4.

Заказ № Тираж экз.

“C”

Издательство Технологического института Южного федерального университета

ГСП 17А, Таганрог, 28, Некрасовский, 44

Типография Технологического института Южного федерального университета

ГСП 17А, Таганрог, 28, Энгельса, 1