Показатели надежности для сложных систем.

5.1.Техническая система может быть невосстанавливаемой и восстанавливаемой. В последнем случае она продолжает работу после устранения отказа. При анализе работы таких систем рассматривают потоки случайных событий (потоки отказов и потоки восстановлений).

Для повышения надежности системы применяют структурное резервирование, когда в систему включают резервные единицы, которые, в случае отказа основного устройства, продолжают выполнять его функции. Резервирование может быть общим и поэлементным. Отношение числа резервных элементов к числу основных называется кратностью резервирования.

Можно также резервировать элементы подсистем в системе. Кратность в различных резервируемых подсистемах может быть различной. Если она одинакова, то ее называют кратностью резервирования всей системы.

Пример 1.

Тип резервирования	Логическая схема	Комментарий
Общее резервирование, постоянно включенный резерв	0 Осн. устр.	Целая кратность 3
Резервирование замещением	Осн. устр.	Целая кратность 3
Поэлементное, с постоянным резервом	1 2 3 0 0 0   1 1 1   2 2 2	Целая кратность 2
Поэлементное, замещением	0 0 0     1 1 1	Целая кратность 1
Тип резервирования	Логическая схема	Комментарий
Поэлементное, с постоянным резервом	01 02     11 12	Для элемента 01 – целая кратность 2, для элемента 02 – целая кратность 1
Поэлементное, с постоянным резервом	0 0   0 0     1 1	Дробная кратность

Замечание.В случае резервирования замещением резервные элементы подключаются после отказа соответствующих основных.

Элементы 01 , 02 ,

0 , в таблице соответствуют основному устройству.

5.2. Рассмотрим нерезервированную невосстанавливаемую систему, логическая модель надежности которой:

1 2 n

Тогда функция надежности системы:

, (1)

где - функция надежности i – ого элемента. Если и функции интенсивности отказов системы и ее элементов, то, используя формулу (8) § 3, получим

, (2)

то есть при последовательном соединении элементов интенсивности их отказов суммируются и дают интенсивность отказов системы.

В частности, если (распределения ), то из формулы (2) следует

(3)

то есть время жизни системы также распределено экспоненциально, при этом среднее время жизни

. (4)

Пример 2.Нерезервированная система состоит из 3-х последовательно соединенных элементов. Время жизни элементов – экспоненциальное: , , . Определить показатели надежности системы: .

Решение. По формулам (1) – (4):

.

час

.

5.3.Рассмотрим резервированную невосстанавливаемую систему с постоянно включенным резервом кратности n:

0

n

Тогда функция ненадежности системы:

, (5)

где - функции ненадежности элементов.

Тогда , (6)

где - функция надежности системы и ее элементов.

(7)

. (8)

Замечание. Из формулы (8) видно, что если время жизни элементов распределено по экспоненциальным законам, то время жизни системы не будет экспоненциальным.

Предположим, что , тогда . Найдем . По формуле (8) § 3:

. (9)

Резервирование естественно предполагает повышение надежности системы. Выигрыш от введения резерва можно определить введя коэффициенты:

- выигрыш в надежности по Т_ср,

- выигрыш в надежности по вероятности безотказной работы p(t),

- выигрыш в надежности по интенсивности отказов .

А именно,

= , (10)

= , (11)

= . (12)

Пример 3.Резервированная невосстанавливаемая система состоит из 3-х параллельно соединенных элементов (постоянно включенный резерв кратности 2). Время жизни каждого элемента .

1) Определить показатели надежности системы: .

2) Определить выигрыш в надежности , , .

Решение. По формуле (6)

. Поэтому

,

.

По формуле (9)

.

2) По формулам (10) – (12):

= = ;

= = ;

= = .

Из расчетов видно, что и ; .

Замечание. Рассмотрим формулу (6) и предположим, что , тогда ; получим формулу

, (13)

которую можно использовать для нахождения кратности резервирования, которая бы обеспечивала необходимые показатели надежности системы.

Пример 4. Время наработки элемента на отказ . Определить кратность его резервирования такими же элементами, чтобы вероятность безотказной работы системы в течение t=1000 час была 0.9.

Решение. . . . Тогда по формуле (13) .

Округляя в большую сторону, получим n=5.

Замечание. Необходимо отметить, что с ростом t кратность резервирования возрастает. Например, для вероятности p=0,9 и распределения :

.

5.4. Рассмотрим резервированную невосстанавливаемую систему (резерв кратности 1, замещением):

Пусть f₀ (t), f₁ (t) – функции плотности вероятностей распределения времени наработки на отказ элементов; р₀ (t), р₁ (t) – функции надежности элементов, f(t), p(t) – аналогичные функции для системы. Тогда Т – время наработки системы на отказ: , где Т₀, Т₁ – время наработки на отказ элементов. Найдем p(t). Рассмотрим промежуток [0, t ) и разобьем его на n частичных промежутков длины . Отказ 0 –ого элемента может произойти на любом из этих частичных промежутков. Пусть с_i – точка отказа на i-ом промежутке. Тогда по формуле полной вероятности:

(10)

или , (11)

где - свертка функций .

Далее

=

= .

Таким образом , (12)

или . (13)

Аналогично, для резервирования замещением кратности n:

0

n

Получаем формулы:

(14)

и . (15)

p(t) можно находить такие же и по формуле

. (16)

Пример 5. Рассмотрим резервированную невосстанавливаемую систему (резерв замещением, кратности 1).

.

Найдем показатели надежности системы.

, ,

.

Таким образом:

,

,

, .

Найдем еще выигрыши , , в надежности системы по при сравнении ее с нерезервированной системой.

= = ;

= = ;

= = .

5.5. Рассмотрим резервированную систему из n элементов одинаковой надежности, для работы которой необходимо, чтобы работало не менее m элементов:

(17)

m

m+1

n

Тогда функцию надежности системы найдем по формуле полной вероятности:

, (18)

где p(t) – функция надежности каждого элемента.

Найдем функцию плотности вероятностей распределения времени наработки на отказ:

, (19)

где f(t) – функция плотности вероятностей для каждого элемента.

Действительно:

. (20)

Данный тип резервирования используется в цифровых устройствах, когда сигнал в двоичном коде ( логическое 0 или 1) подается на систему вида (17), состоящую из нечетного числа элементов одинаковой надежности.

Для нормальной работы системы необходимо, чтобы сигнал проходил без искажений большинство элементов (закон большинства, или мажоритарный закон). На практике часто рассматривают системы «2 из 3-х», или «3 из 5».

Пример 6. Рассмотрим систему «2 из 3-х»:

2 4

Сигналы на входе и выходе элементов – в двоичном коде. Сигнал на выходе четвертого элемента формируется по мажоритарному принципу из 3 входящих и равен значению большинства. Элементы 1, 2, 3 – равнонадежны:

.

Для нормальной работы такой системы необходимо и достаточно, чтобы работали без искажений хотя бы 2 из 3 первых элементов и 4-й элемент.

Тогда, используя формулу (18), получим

.

Предположим, что и найдем выигрыш в надежности по вероятности безотказной работы системы при сравнении ее с системой

p(t) p(t)

.

Решим неравенство

, т.е. при надежность системы, по сравнению с нерезервированной, больше. Найдем интервал времени:

.

Найдем еще .

.

;

и .

Упражнения.

5.1. Нерезервированная невосстанавливаемая система состоит из 3-х последовательно соединенных элементов. Время жизни элементов экспоненциальное: , , . Определить показатели надежности системы: . Определить время, в течение которого система будет исправна с вероятностью .

5.2. Резервированная невосстанавливаемая система состоит из 2-х параллельно соединенных элементов (постоянно включенный резерв). Время жизни каждого элемента . а) Определить показатели надежности системы: . б) определить выигрыш в надежности , , при t=2000 час.

Ответ:а) ,

,

,

.

5.3. Нерезервированная система состоит из 2-х последовательно соединенных элементов. Время жизни каждого . Найти показатели надежности системы. Найти .

5.4. Невосстанавливаемая система состоит из 2-х параллельно соединенных элементов. Время жизни каждого . Найти показатели надежности системы. Найти .

5.5.Система состоит из пяти параллельно соединенных элементов. Время наработки на отказ каждого : . а) Для нормальной работы системы необходимо, чтобы работали хотя бы 3 из 5 элементов:

0. у.

0. у.

0.у. (резерв кратности ).

б) Для нормальной работы системы необходимо, чтобы работали хотя бы 4 из 5 элементов:

0. у.

0. у.

0.у. (резерв кратности ).

0. у.

Пусть Т – время наработки на отказ системы. Написать формулы для p(t), f(t).

5.6. Время наработки элемента на отказ . Определить кратность его резервирования такими же элементами, чтобы вероятность безотказной работы системы в течение t=1500 час была 0,9.

Ответ: 9.

5.7.Рассмотрим резервированную систему (резерв замещения кратности 1)

а) Найти показатели надежности.

б) определить выигрыш в надежности , , при t=2000 час.

5.8.Система состоит из трех параллельно соединенных элементов. Время наработки на отказ каждого : . Для нормальной работы системы необходимо, чтобы работало хотя бы 2 элемента из 3-х:

а) Найти показатели надежности.

б) определить выигрыш в надежности при сравнении ее с системой