Формулы муавра-лапласа и пуассона

1. Известно, что 3/5 всего числа изготовленных заводом телефонных аппаратов выпускается первым сортом. Изготовленные аппараты расположены одни возле другого случайным образом и приемщик берет первые попавшиеся 600 штук. Найти: 1) наивероятнейшее число телефонных аппаратов первого сорта среди отобранных; 2) вероятность того, что среди отобранных находятся от 200 до 500 аппаратов первого сорта.

2. Рабочие цеха обслуживают 200 станков. Каждый станок в течение 6 ч работы несколько раз останавливается и всего в сумме стоит 0,5 ч, причем остановки их в любой момент времени равновероятны. В данный момент найти: 1) наивероятнейшее число неработающих станков; 2) вероятность того, что работают ровно 150 станков; 3) вероятность того, что работают не менее 150 станков.

3. На складе находится партия пряжи. Известно, что партия содержит 40% пряжи второго сорта, остальная пряжа первого сорта. Для контроля качества пряжи наудачу отобрано 300 мотков. Найти: 1) наивероятнейшее число мотков пряжи второго сорта; 2) вероятность того, что среди них ровно 200 мотков пряжи первого сорта; 3) вероятность того, что среди них от 150 до 200 мотков пряжи первого сорта.

4. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле из орудия равна 0,8. Произведено 150 выстрелов. Найти: 1) наивероятнейшее число промахов; 2) вероятность ровно 100 попаданий; 3) вероятность не менее 100 попаданий.

5. По данным технического контроля в среднем два процента изготовляемых на заводе чесов нуждаются в дополнительной регулировке. Изготовлено 400 часов. Найти: 1) наивероятнейшее число часов, требующих регулировки; 2) вероятность того, что триста часов не потребуют регулировки; 3) вероятность того, что не более трехсот часов потребуют регулировки.

6. В цехе работает 300 моторов. Для каждого мотора вероятность перегрева к обеденному перерыву равна 0,8. найти: 1) наивероятнейшее число перегревшихся моторов; 2) вероятность того, что перегреются 150 моторов; 3) вероятность того, что перегреются от 150 до 250 моторов.

7. Вероятность выигрыша на каждый из лотерейных билетов равна 0,02. Имеются 100 билетов из разных серий. Найти: 1) наивероятнейшее число проигрышных билетов; 2) вероятность того, что выигрыш выпадет на 80 билетов; 3) вероятность того, что выигрыш выпадет на число билетов от 50 до 90.

8. Вероятность того, что расход воды на некотором предприятии окажется нормальным (не больше определенного числа литров в сутки), равна ¾. Рассматриваются 200 рабочих дней предприятия. Найти: 1) наивероятнейшее число дней, в которые расход воды превышает норму; 2) вероятность того, что за 150 дней расход воды будет нормальным; 3) вероятность того, что за число дней от 50 до 150 расход воды будет нормальным.

9. Радиотелеграфная станция принимает цифровой текст. В силу помех вероятность ошибочного приема любой цифры не изменяется в течение всего приема и равна 0,01. Считая приемы отдельных цифр независимыми событиями, найти для текста, содержащего 1100 цифр: 1) наивероятнейшее число верных цифр; 2) вероятность того, что в тексте будет ровно 7 ошибок; 3) вероятность того, что в тексте будет меньше 20 ошибок.

10. Вероятность попадания в цель бомбы равна 0,3. С группы самолетов одиночно сбрасывается 200 бомб. Найти: 1) наивероятнейшее число попаданий в цель; 2) вероятность попадания ровно 70 бомб; 3) вероятность попадания не менее 50 бомб.

11. Вероятность выпуска сверла повышенной хрупкости (брак) равна 0,02. Сверла укладываются в коробки по 100 штук. Найти: 1) наивероятнейшее число доброкачественных сверл в коробке; 2) вероятность того, что в коробке окажется 3 бракованных сверла; 3) вероятность того, что в коробке окажется не более 10 бракованных сверл.

12. При данном технологическом процессе 75% всей произведенной продукции оказывается продукцией высшего сорта. Наудачу отобрана партия из 150 изделий. Найти: 1) наивероятнейшее число изделий высшего сорта; 2) вероятность того, что в этой партии окажется наивероятнейшее число изделий высшего сорта; 3) вероятность того, что в партии окажется от 50 до 120 изделий высшего сорта.

13. В некоторой местности имеются 3% больных малярией. Производится обследование 500 человек. Найти: 1) наивероятнейшее число лиц, не больных малярией; 2) вероятность того, что среди обследуемых 15 человек больны малярией; 3) вероятность того, что среди обследуемых от 100 до 300 человек больны малярией.

14. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0,9. Случайным образом отобраны 500 деталей. Найти: 1) наивероятнейшее число стандартных деталей; 2) вероятность того, что среди них ровно 440 деталей стандартных; 3) вероятность того, что среди них не более чем 300 стандартных деталей.

15. При установившемся технологическом процессе станок-автомат производит 2/3 числа изделий первого сорта и 1/3 — второго сорта. Найти вероятность того, что среди 300 случайно отобранных изделий будет: 1) ровно 220 изделий первого сорта; 2) не менее 200 изделий первого сорта.

16. Известно, что в среднем 90% числа производимых цехом изделий не имеют дефектов. Найти вероятность: 1) что среди наудачу отобранных 4 изделий ровно 2 изделия с дефектом; 2) среди наудачу отобранных 300 изделий 260 изделий без дефектов; 3) среди наудачу отобранных 300 изделий не более 250 изделий без дефектов.

17. В библиотеке имеются книги только по технике и математике. Вероятности того, что любой читатель возьмет книгу по технике и по математике, равны соответственно 0,7 и 0,3. Библиотеку посетили 300 читателей, каждый из которых взял по одной книге. Найти: 1) наивероятнейшее число взятых книг по математике; 2) вероятность того, что было взято 200 книг по технике; 3) вероятность того, что было взято не менее 200 книг по технике.

18. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,001. Произведено 5000 выстрелов. Найти: 1) наивероятнейшее число промахов; 2) вероятность не менее 10 попаданий.

19. Всхожесть ржи составляет 90%. Посеяно 1000 зерен ржи. Найти: 1) наивероятнейшее число взошедших зерен; 2) вероятность того, что взойдут ровно 800 зерен; 3) вероятность того, что взойдут от 500 до 900 зерен.

20. Среди волокон хлопка определенного сорта в среднем 75 % имеют длину, меньшую, чем 45 мм, 25 % — длину, большую (или равную) 45 мм. Наудачу отобрано 500 волокон. Найти: 1) наивероятнейшее число волокон, имеющих длину больше 45 мм; 2) вероятность того, что от 200 до 400 волокон имеют длину, меньшую, чем 45 мм.

21. Известно, что одна четвертая часть рабочих некоторой отрасли промышленности имеет среднее образование. Для обследования выбрано наудачу 2000 рабочих. Найти: 1) наивероятнейшее число рабочих со средним образованием; 2) вероятность того, что 1500 рабочих имеют среднее образование; 3) вероятность того, что от 1000 до 1500 рабочих имеют среднее образование.

22. При установившемся технологическом процессе происходит 10 обрывов нити на 100 веретен в час. Рассматривается 500 веретен. Найти: 1) наивероятнейшее число обрывов нити в час; 2) вероятность того, что произойдет 300 обрывов нити в час; 3) вероятность того, что произойдет от 200 до 400 обрывов нити в час.

23. В некоторой местности в среднем на каждые 100 выращиваемых арбузов приходится один весом не менее 10 кг. Найти вероятность того, что в партии арбузов из этой местности, содержащей 4000 штук, будет: 1) ровно 3 арбуза весом не менее 10 кг; 2) не менее 2 таких арбузов.

24. Установлено, что в среднем 0,5% шариков, изготовленных для подшипников, оказываются бракованными. На контроль поступили 10000 шариков. Найти: 1) наивероятнейшее число доброкачественных шариков; 2) вероятность того, что бракованными окажутся 60 шариков; 3) вероятность того, что бракованными окажутся не более 60 шариков.

25. В среднем левши составляют 1%. Случайным образом отобраны 200 человек. Найти: 1) наивероятнейшее число лиц, не являющихся левшами; 2) вероятность того, что окажется ровно четверо левшей; 3) вероятность того, что окажется не болеет 4 левшей.

26. При штамповке 70% деталей выходит первым сортом, 20% - вторым и 10% - третьим. Определить: 1) сколько нужно взять отштампованных деталей, чтобы с вероятностью, равной 0,9973, можно было утверждать, что доля первосортных среди них будет отличаться от вероятности изготовления первосортной детали по абсолютной величине не более чем на 0,05; 2) вероятность того, что в партии из 100 деталей будет более 10 деталей третьего сорта.

27. При установившемся технологическом процессе 75 % продукции станка-автомата высшего качества. Найти вероятность того, что в партии из 150 изделий окажется: 1) наивероятнейшее число изделий высшего качества; 2) от 100 до 120 изделий высшего качества.

28. По техническим условиям диаметр валиков, изготавливаемых на автоматическом станке, должен быть не менее 37,8 мм и не более 37,9 мм. Настроенный станок производит в среднем 98% валиков, удовлетворяющих предъявляемым требованиям. Определить вероятность того, что среди 900 изготовленных валиков будет бракованных: а) от 3% и более; б) менее 2%.

29. Настроенный станок производит в среднем 80 % валиков, диаметр которых укладывается в поле допуска. Найти вероятность того, что среди 100 валиков: 1) будет не менее 75 валиков, диаметр которых укладывается в поле допуска; 2) ровно 75 валиков, диаметр которых укладывается в поле допуска.

30. Вероятность допущения дефекта при производстве механизма равна 0,4. Отобрано для контроля 500 механизмов. Найти: 1) величину наибольшего отклонения частоты изготовления механизмов с дефектами от вероятности 0,4, которую можно гарантировать с вероятностью 0,9973; 2) вероятность того, что дефектных механизмов будет более 50.

Задача 8.