Формулы сложения и умножения вероятностей

1. В двух урнах находятся шары, отличающиеся только цветом, причем в первой урне 4 белых, 5 черных и 1 красный, а во второй урне — 3, 5, 2 соответственно. Из обеих урн наудачу извлекается по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара одного цвета?

2. Изготовлено 12 изделий, из которых 8 отличного качества. Наудачу отобрано 9 изделий. Найти вероятность того, что среди них не менее 5, но не более 7 отличного качества.

3. Три спортсмена участвуют в отборочных соревнованиях. Вероятность того, что спортсмен будет зачислен в сборную команду, равна соответственно 0,8; 0,7; 0,6. Найти вероятность того, что: 1) два спортсмена будут зачислены в сборную команду; 2) не менее двух спортсменов будут зачислены в сборную команду.

4. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает ее наудачу. Определить вероятность того, что ему придется звонить не более трех раз.

5. Партия из 100 деталей подвергается выборочному контролю. Условием непригодности всей партии является наличие хотя бы одной бракованной детали среди пяти взятых для проверки. Какова вероятность для данной партии быть не принятой, если она содержит 5 неисправных деталей?

6. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает: 1) только один сигнализатор; 2) хотя бы один сигнализатор.

7. На отдельных карточках написаны буквы т, т, с, у, д, е, н. Карточки перемешаны. Какова вероятность получить слово «студент» в порядке появления карточек при их произвольном выборе?

8. В урне 4 белых и 6 черных шаров. Из урны вынимается один шар, отмечается его цвет и шар возвращается в урну. После этого из урны берется еще один шар. Найти вероятность того, что оба вынутых шара одного цвета.

9. Ведется стрельба по самолету, уязвимыми агрегатами которого являются два двигателя и кабина пилота. Для того, чтобы вывести из строя самолет, достаточно поразить оба двигателя вместе или кабину пилота. При данных условиях стрельбы вероятность поражения первого двигателя равна 0,5, второго двигателя — 0,6, кабины пилота — 0,3. Агрегаты самолета поражаются независимо друг от друга. Найти вероятность того, что самолет будет поражен.

10. В читальном зале имеются шесть учебников по теории вероятностей, из которых три в переплете. Библиотекарь наудачу берет учебники один за другим до появления учебника в переплете. Найти вероятность того, что он возьмет не более трех учебников.

11. При конвейерной сборке точного механизма рабочий должен устанавливать в него определенную деталь. Деталь эту в некоторых случаях приходится подгонять путем дополнительной обработки. Вероятность того, что деталь будет установлена без подгонки с первой пробы, равна 0,38, с подгонкой при второй пробе — 0,26, при третьей — 0,20, при четвертой — 0,14, при пятой — 0,02. Какова вероятность того, что для подгонки этой детали потребуется: 1) более двух проб; 2) четыре или пять проб; 3) нечетное количество проб?

12. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8.

13. Из урны, содержащей 2 белых и 4 черных шара, двое поочередно извлекают шар. Найти вероятность извлечения первым белого шара каждому из участников.

14. Вероятность наступления событий в каждом опыте одинакова и равна 0,2. Опыты производятся последовательно до наступления события. Определить вероятность того, что придется производить не более трех опытов.

15. Вероятность наступления события в каждом опыте одинакова и равна 0,2. Опыты проводятся последовательно до наступления события. Найти вероятность того, что придется производить пятый опыт.

16. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделия стандартно, равна 0,9. найти вероятность того, что из трех проверенных изделий: 1) лишь одно стандартное; 2) не менее двух стандартных.

17. Предприятие изготовляет 95% изделий стандартных, причем из них 86% — первого сорта. Найти вероятность того, что: 1) взятое наудачу изделие первого сорта; 2) из двух взятых наудачу изделий хотя бы одно первого сорта.

18. В двух урнах находятся шары, отличающиеся только цветом, причем в первой урне — 4 белых и 6 черных шаров, во второй урне — 6 белых и 4 черных шара. Из обеих урн наудачу извлекаются по два шара. Найти вероятность того, что среди извлеченных шаров будут два черных шара.

19. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0,4. Произведены три независимых измерения. Найти вероятность того, что: 1) только в одном из них допущенная ошибка превысит заданную точность; 2) хотя бы в одном из них допущенная ошибка превысит заданную точность.

20. Известно, что 4% всей продукции являются браком, а 75% небракованных изделий удовлетворяют требованиям первого сорта. Найти вероятность того, что: 1) взятое наудачу изделия является первосортным; 2) среди двух взятых наудачу изделий не более чем одно первосортное изделие.

21. Определить вероятность того, что партия из ста изделий, среди которых пять бракованных, будет принята при испытании наудачу выбранной половины всей партии, если условиями приема допускается бракованных изделий не более одного из пятидесяти.

22. Вероятность попадания мишень стрелком при одном выстреле равна 0,8. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью, меньшей 0,4, можно было ожидать, что: 1) не будет ни одного промаха; 2) будет хотя бы одно попадание.

23. В урне имеется два шара — белый и черный. Производится извлечение по одному шару до тех пор, пока не появится черный, причем при извлечении белого шара в урну возвращается этот шар, и добавляются еще два белых шара. Определить вероятность того, что при первых пятидесяти опытах черный шар не будет извлечен.

24. Игрок А поочередно играет по две партии с игроками В и С. Вероятности выигрыша первой партии для В и С равны 0,1 и 0,2 соответственно, вероятность выиграть во второй партии для В равна 0,3, для С равна 0,4. Определить вероятность того, что первым выиграет В.

25. В электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо один от другого. Вероятности отказов первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,1; 0,15 и 0,2. Найти вероятность того, что тока в цепи не будет.

26. Из полного набора домино наудачу извлекаются кости одна за другой до появления дубля. Найти вероятность того, что будет извлечено не более трех костей.

27. Игрок А поочередно играет с игроками В и С с вероятностями выигрыша в каждой партии 0,25 и прекращает игру после первого проигрыша или после двух партий, выигранных с каждым игроком. Определить вероятность выигрыша В.

28. Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны 0,3; 0,4; 0,6; 0,7.

29. В кошельке находятся 6 монет по 20 коп. и 3 монеты по 3 коп. Из кошелька извлекаются монеты одна за другой до появления монеты в 20 коп. Найти вероятность того, что будет извлечено не более трех монет.

30. Вероятность получить очко, не теряя подачи, при игре равносильных волейбольных команд равна 0,5. Определить вероятность получения одного очка для подающей команды.

Задача 4.

Формула полной вероятности

1. Каждая из двух урн содержит по 4 белых и 6 черных шаров. Из первой урны наудачу извлекается один шар и перекладывается во вторую урну, после чего из второй урны извлекается один шар. Найти вероятность того, что из второй урны будет извлечен белый шар.

2. На двух станках обрабатываются однотипные детали, вероятность брака для станка № 1 составляет 0,03, а для станка № 2 — 0,02. Обработанные детали складываются в одном месте, причем станок № 1 обрабатывает вдвое больше деталей, чем станок № 2. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь будет доброкачественной.

3. Партия электрических лампочек изготовлена заводом № 1 на 20%, заводом № 2 на 30% и заводом № 3 на 50%. Для завода № 1 вероятность выпуска бракованных лампочек равна 0,01, для завода № 2 — 0,005 и для завода № 3 — 0,006. Найти вероятность того, что взятая наудачу из партии лампочка окажется бракованной.

4. Часы изготавливаются на трех заводах и поступают в магазин. Первый завод производит 40% продукции, второй — 45%, третий — 15%. В продукции первого завода спешат 20% часов, второго — 30% и третьего — 10%. Найти вероятность того, что купленные часы спешат.

5. На сборку поступило 1000 деталей от первого автомата, 2000 — от второго и 2500 — от третьего. Известно, что первый автомат дает брака 0,3 %, второй — 0,2% и третий — 0,4%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали.

6. Детали от трех станков поступают в общий бункер. Вероятность выпуска бракованной детали для первого станка равна 0,03, для второго — 0,02 и для третьего — 0,01. Производительность первого станка в три раза больше производительности второго, а производительность третьего станка в два раза больше производительности второго. Найти вероятность того, что взятая наудачу из бункера деталь будет бракованной.

7. По самолету производится три выстрела. Вероятности попадания при первом выстреле равна 0,5, при втором — 0,6, при третьем — 0,8. При одном попадании самолет будет сбит с вероятностью 0,3, при двух — с вероятностью 0,6, при трех выстрелах самолет будет сбит наверняка. Найти вероятность того, что самолет будет сбит.

8. Заготовки на сборку поступают из двух бункеров: 70% из первого и 30% из второго. При этом заготовки первого бункера имеют плюсовые допуски в 10% случаев, а второго — в 20%. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь имеет плюсовой допуск.

9. Литье в болванках поступает из двух заготовительных цехов: 70% из первого цеха и 30% из второго. При этом материал первого цеха имеет 10% брака, а второго — 20%. Найти вероятность того, что взятая наудачу болванка не имеет брака.

10. Клапаны, изготовляемые в цехе, проверяются двумя контролерами. Вероятность того, что клапан попадает на проверку первому контролеру, равна 0,6, а ко второму — 0,4. Вероятность того, что годный клапан будет забракован, для первого контролера равна 0,06, а для второго — 0,02. Найти вероятность того, что взятый наудачу годный клапан будет признан годным.

11. Из 10 деталей 4 окрашены. Вероятность того, что окрашенная деталь тяжелее нормы, равна 0,3, а для неокрашенной детали эта вероятность равна 0,1. найти вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется тяжелее нормы.

12. В собранной электрической цепи может быть поставлен предохранитель первого типа, который при перегрузке срабатывает с вероятностью 0,8, или предохранитель второго типа, который при перегрузке срабатывает с вероятностью 0,9. Предохранитель первого типа может быть поставлен в цепь с вероятностью 0,6, а второго — с вероятностью 0,4. Найти вероятность того, что поставленный предохранитель сработает при перегрузке цепи.

13. В спартакиаде участвуют: из первой группы 4 студента, из второй группы — 6 и из третьей — 5. Студент первой группы попадает в сборную института с вероятностью 0,9, для студента второй группы эта вероятность равна 0,7, а для студента третьей группы — 0,8. Найти вероятность того, что выбранный наудачу студент попадет в сборную института.

14. В пирамиде установлено 10 винтовок, 4 из которых имеют оптический прицел. Вероятность поражения мишени из винтовки с оптическим прицелом равна 0,95, а из винтовки без оптического прицела — 0,8. Найти вероятность того, что стрелок поразит цель из наудачу взятой винтовки.

15. Мимо бензоколонки проезжают легковые и грузовые машины. Среди них грузовых машин 60%. Вероятность того, что проезжающая машина подъедет на заправку, для грузовых машин равна 0,1, а для легковых — 0,2. Найти вероятность того, что проезжающая машина подъедет к бензоколонке на заправку.

16. Изделие может поступить для обработки на первый станок с вероятностью 0,2, на второй станок — с вероятностью 0,3 и на третий станок — с вероятностью 0,5. При обработке на первом станке вероятность брака равна 0,02, на втором — 0,03, на третьем — 0,05. Найти вероятность того, что взятое наудачу изделие окажется бракованным.

17. На склад поступает продукция трех фабрик, причем продукция первой фабрики составляет 20%, второй — 45% и третьей — 35%. Известно, что средний процент нестандартных изделий для первой фабрики равен 3%, для второй — 2%, а для третьей — 1%. Найти вероятность того, что взятое наудачу изделие окажется стандартным.

18. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, трое подготовлены отлично, четверо — хорошо, двое — посредственно и один плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо — на 16, посредственно — на 10, плохо — на 5. Найти вероятность того, что вызванный наудачу студент ответит на три вопроса.

19. При проверке качества зерен пшеницы было установлено, что все зерна могут быть разделены на 4 группы. К зернам первой группы принадлежит 96%, ко второй — 2%, к третьей — 1% и к четвертой — 1% всех зерен. Вероятность того, что из зерна вырастет колос, содержащий не менее 500 зерен, для семян первой группы равна 0,5, для семян второй группы — 0,2, для семян третьей группы — 0,18 и для семян четвертой группы — 0,02. Найти вероятность того, что из взятого наудачу зерна вырастет колос, содержащий не менее 50 зерен.

20. На распределительной базе находятся электрические лампочки, произведенные двумя заводами. Среди них 70% изготовлены первым заводом и 30% — вторым. Известно, что из каждых 100 лампочек, произведенных первым заводом, 90 шт. удовлетворяют стандарту, и из 100 шт., произведенных вторым заводом, удовлетворяют стандарту 80 шт. Найти вероятность того, что взятая наудачу с базы лампочка будет удовлетворять требованиям стандарта.

21. В цехе 3 типа автоматических станков производят одни и те же детали. Производительность их одинакова, но качество работы различно. Известно, что станки первого типа производят 0,9 деталей отличного качества, второго — 0,85 и третьего — 0,8. Все произведенные в цехе за смену детали в нерассортированном виде сложены на складе. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется высшего качества, если станков первого типа 10 шт., второго — 8 шт. и третьего — 2 шт.

22. В вычислительной лаборатории имеются шесть клавишных автоматов и четыре полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна 0,95, для полуавтомата эта вероятность равна 0,8. Студент производит расчет на наудачу выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя.

23. Вероятности того, что во время работы цифровой электронной машины произойдет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах, относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.

24. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых, во второй — 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по 2 шара, а затем из этих 4 шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.

25. В больницу поступают в среднем 50% больных с заболевание К, 30% — с заболевание L, 20% — с заболевание М. Вероятность полного излечения болезни К равна 0,7, L — 0,8, и болезни М — 0,9. Найти вероятность того, что больной, поступивший в больницу, будет выписан здоровым.

26. Три группы студентов сдавали экзамен по математике. В первой группе успешно сдали 80 % студентов, во второй -75 %, третьей - 90 %. Найти вероятность того, что наудачу выбранный студент из этих групп сдал успешно экзамен, если численность первой группы в 1,5 раза больше численности второй и в 1,2 раза больше численности третьей группы.

27. В магазин поступили радиоприемники с трех заводов. Среди 50 приемников с первого завода 10 приемников первого класса, из 60 со второго завода 15 первого класса. Найти вероятность того, что наудачу взятый радиоприемник будет первого класса, если из 40 приемников с третьего завода 10 первого класса.

28. При передаче сообщений “точка” и “тире” эти сигналы встречаются в отношении 5:3. Статистические свойства помех таковы, что искажаются в среднем 0,4 сообщений “точка” и ¹/₃ сообщений “тире”. Найти вероятность того, что произвольный из принятых сигналов не искажен.

29. Нормальный режим функционирования робота зарегистрирован в 60 % случаях работы, форсированный в 30 % и недогруженный - в 10 %. Его надежность при нормальном режиме 0,8, при форсированном — 0,6, при недогруженном — 0,9. Найти полную надежность робота.

30. В продажу поступили телевизоры от трех фирм. Продукция первой фирмы содержит 20 % телевизоров со скрытым дефектом, второй - 10 % и третьей - 5 %. Найти вероятность приобретения исправного телевизора, если в магазин поступило 30 % телевизоров от первой фирмы, 20 % от второй и 50 % от третьей.

Задача 5.

Формула Байеса

1. Имеются две партии изделий по 10 и 12 штук соответственно, причем в каждой партии ровно одно изделие бракованное. Изделие, взятое наудачу из первой партии, переложено во вторую, после чего выбирается наудачу одно изделие из второй партии, оказавшееся бракованным. Найти вероятность того, что из первой парии во вторую было переложено доброкачественное изделие.

2. В пирамиде установлено 10 винтовок, 4 из которых имеют оптический прицел. Вероятность поражения мишени из винтовки с оптическим прицелом равна 0,95, а из винтовки без оптического прицела — 0,8. Из наудачу взятой винтовки стрелок сделал промах. Найти вероятность того, что он стрелял из винтовки с оптическим прицелом.

3. Мимо бензоколонки проезжают легковые и грузовые машины. Среди них 60% грузовых машин. Вероятность того, что проезжающая машина подъедет на заправку, для грузовых машин равна 0,1, а для легковых — 0,2. Проезжающая машина подъехала к бензоколонке на заправку. Найти вероятность того, что это легковая машина.

4. Изделие может поступить для обработки на первый станок с вероятностью 0,2, на второй станок — с вероятностью 0,3 и на третий станок — с вероятностью 0,5. При обработке на первом станке вероятность брака равна 0,02, на втором — 0,03, на третьем — 0,05. Взятое наудачу изделие оказалось доброкачественным. Найти вероятность того, что оно обрабатывалось на третьем станке.

5. На склад поступает продукция трех фабрик, причем продукция первой фабрики составляет 20%, второй — 46% и третьей — 34%. Известно, что средний процент нестандартных изделий для первой фабрики равен 3%, для второй — 2%, а для третьей — 1%. Взятое наудачу изделие оказалось нестандартным. Найти вероятность того, что оно изготовлено на первой фабрике.

6. В группе из десяти студентов, пришедших на экзамен, трое подготовлены отлично, четверо — хорошо, двое — посредственно и один — плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный — на 16, посредственно — на 10, плохо — на 5. Вызванный наудачу студент ответил на три вопроса. Найти вероятность того, что он подготовлен плохо.

7. При проверке качества зерен пшеницы было установлено, что все зерна могут быть разделены на 4 группы. К зернам первой группы принадлежит 96%, ко второй 2%, к третьей 1%, к четвертой 1% всех зерен. Вероятность того, что из зерна вырастет колос, содержащий не менее 50 зерен, для семян первой группы равна 0,5, для второй — 0,2, для третьей — 0,8, и для семян четвертой группы — 0,02. Из взятого наудачу зерна вырос колос, содержащий не менее 50 зерен. Найти вероятность того, что он вырос из зерна четвертой группы.

8. На распределительной базе находятся электрические лампочки, произведенные двумя заводами. Среди них 70% изготовлены первым заводом и 30% вторым. Известно, что из каждых 100 лампочек, произведенных первым заводом, 90 шт. удовлетворяет стандарту, а из 100 шт., произведенных вторым заводом, удовлетворяют стандарту 80 шт. Взятая наудачу лампочка оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она произведена на первом заводе.

9. В цехе три типа автоматических станков производят одни и те же детали. Производительность их одинакова, но качество работы различно. Известно, что станки первого типа производят 0,9 деталей отличного качества, второго — 0,85 и третьего — 0,8. Все произведенные в цехе за смену детали в нерассортированном виде сложены на складе. Взятая наудачу со склада деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что она произведена на станке первого типа, если станков первого типа 10 шт., второго — 8 шт., и третьего — 2шт.

10. В вычислительной лаборатории имеются шесть клавишных автоматов и четыре полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна 0,95, для полуавтомата эта вероятность равна 0,8. Студент производил расчет на наудачу выбранной машине, и она вышла из строя до окончания расчета. Найти вероятность того, что это был автомат.

11. Вероятности того, что во время работы цифровой электронной машины произойдет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах, относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Возникший в машине сбой обнаружен. Найти вероятность того, что сбой произошел в арифметическом устройстве.

12. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых, во второй урне 8 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по два шара, а затем из этих четырех шаров наудачу взят один шар. Извлеченный шар оказался черным. Найти вероятность того, что из первой урны были извлечены шары разного цвета.

13. В больницу поступает в среднем 50% больных с заболеванием К, 30% — с заболеванием Z, 20 % — с заболеванием М. Вероятность полного излечения болезни К равна 0,7, болезни Z — 0,8 и болезни М — 0,9. Поступивший в больницу больной был выписан здоровым. Найти вероятность того, что он поступил в больницу с заболеванием Z.

14. На двух станках обрабатываются однотипные детали; вероятность брака для станка № 1 составляет 0,03, а для станка № 2 — 0,02. Обработанные детали складываются в одном месте, причем станок № 1 обрабатывает вдвое больше деталей, чем станок № 2. Наудачу взятая деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она обрабатывалась на станке № 1.

15. Партия электрических лампочек на 20% изготовлена заводом № 1, на 30% — заводом № 2 и на 50% — заводом № 3. Для завода № 1 вероятность выпуска бракованной лампочки равна 0,01, для завода № 2 — 0,005 и для завода № 3 — 0,006. Взятая наудачу лампочка оказалась доброкачественной. Найти вероятность того, что она изготовлена заводом № 2.

16. Часы изготовляются на трех заводах и поступают в магазин. Первый завод производит 40 % продукции, второй — 45% и третий — 15%. В продукции первого завода спешат 80 % часов, у второго — 70%, у третьего — 90%. Купленные наудачу часы отстают. Найти вероятность того, что они изготовлены на первом заводе.

17. На сборку поступили 1000 деталей от первого автомата, 2000 — от второго и 2500 от третьего. Известно, что первый автомат дает брака 0,3%, второй — 0,2 % и третий — 0,4%. Взятая наудачу деталь оказалась доброкачественной. Найти вероятность того, что она изготовлена на втором автомате.

18. Детали от трех станков поступают в общий бункер. Вероятность выпуска бракованной детали для первого станка равна 0,03, для второго — 0,02, и для третьего — 0,01. Производительность первого станка в три раза больше производительности второго, а производительность третьего станка в два раза больше производительности второго. Взятая наудачу деталь оказалась доброкачественной. Найти вероятность того, что она изготовлена на втором станке.

19. По самолету производится три выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,5, при втором — 0,6 и при третьем — 0,8. При одном попадании самолет будет сбит с вероятностью 0,3, при двух — с вероятностью 0,6, при трех самолет будет сбит наверняка. В результате этих выстрелов самолет оказался сбитым. Найти вероятность того, что при этом было три попадания в самолет.

20. Заготовки на сборку поступают из двух бункеров: 70% из первого и 30 % из второго. При этом заготовки первого бункера имеют плюсовые допуски в 10% случаев, а второго — в 20%. Взятая наудачу заготовка имеет плюсовой допуск. Найти вероятность того, что она поступила из первого бункера.

21. Литье в болванках поступает из двух заготовительных цехов: 70% из первого и 30% из второго. При этом материал первого цеха имеет 10 % брака, а второго — 20%. Взятая наудачу болванка оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она поступила из второго цеха.

22. Клапаны, изготовляемые в цехе, проверяются двумя контролерами. Вероятность того, что клапан попадает на проверку первому контролеру, равна 0,6, а ко второму — 0,4. Вероятность того, что годный клапан будет забракован, для первого контроллера будет равна 0,06, а для второго — 0,02. Наудачу взятый после проверки годный клапан забракован. Найти вероятность того, что его проверял второй контролер.

23. Из 10 деталей 4 окрашены. Вероятность того, что окрашенная деталь тяжелее нормы, равна 0,3, а для неокрашенной детали эта вероятность равна 0,1. Взятая наудачу деталь оказалась легче нормы. Найти вероятность того, что она окрашена.

24. В собранной электрической цепи может быть поставлен предохранитель первого типа, который при перегрузке срабатывает с вероятностью 0,9. Предохранитель первого типа может быть поставлен в цепь с вероятностью 0,6, а второго типа — с вероятностью 0,4. Поставленный наудачу в цепь предохранитель не сработал при ее перегрузке. Найти вероятность того, что это было предохранитель второго типа.

25. В спартакиаде участвуют: из первой группы 4 студента, из второй — 6, из третьей — 5. Студент первой группы попадает в сборную института с вероятностью 0,9, для студента второй группы эта вероятность равна 0,7, а для студента третьей группы — 0,8. Выбранный наудачу студент не попал в сборную института. Найти вероятность того, что он был из третьей группы.

26. В магазин поступают плащи с трех фабрик. Производительности фабрик относятся 2:5:3. Комбинированные плащи среди продукции составляют в среднем 97 %, 96 %, 98 % соответственно. Наудачу выбранный плащ оказался комбинированным. С какой фабрики вероятнее всего он поступил?

27. На склад поступила продукция трех фирм, выпускающих телефонные аппараты. Объемы продукции первой, второй и третьей фирм относятся как 3:5:4. Известно, что кнопочные аппараты среди продукции первой фирмы составляют в среднем 92 %, второй - 90 %, третьей - 85 %. Найти вероятность того, что наудачу взятый аппарат, оказавшийся кнопочным, изготовлен второй фирмой.

28. Среди реализуемых магазином магнитофонов 35 % изготовлены на первом заводе, 25 % на втором и остальные на третьем. Доля двухкассетных магнитофонов в продукции этих заводов составляет соответственно 85 %,75%, 90 %. Найти вероятность того, что у случайного покупателя этого магазина купленный им двухкассетный магнитофон изготовлен на третьем заводе.

29. На первом станке изготовлено 20 деталей, из них 7 с дефектом, на втором 30 деталей, из них 4 с дефектом, на третьем -50 деталей, из них 10 с дефектом. С общего конвейера взята наудачу деталь, оказавшаяся без дефекта. Найти вероятность того, что она изготовлена на третьем станке.

30. По результатам проверки контрольных работ оказалось, что в первой группе получили положительные оценки 20 из 30 студентов, во второй группе 15 из 25. Найти вероятность того, что наудачу выбранная работа, имеющая положительную оценку, написана студентом первой группы.

Задача 6.

Формула Бернулли

1. Предприятие выпускает 80% изделий первого сорта. Случайным образом отобраны 4 изделия. Какова вероятность того, что среди них: 1) ровно два изделия первого сорта; 2) не более двух изделий первого сорта.

2. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0,9. Найти вероятность того, что среди 5 случайно отобранных деталей будут: 1) ровно 3 стандартные детали; 2) от 2 до 4 стандартных деталей.

3. При установившемся технологическом процессе станок-автомат производит 2/3 числа изделий первого сорта и 1/3 — второго сорта. Установить, что является более вероятным — получить 2 первосортных изделия среди 5 наудачу отобранных или 5 первосортных среди 10 наудачу отобранных.

4. Известно, что в среднем 90% числа производимых цехом изделий не имеют дефектов. Наудачу отобраны 5 изделий. Найти вероятность того, что среди них: 1) ровно 2 изделия с дефектом; 2) не менее 4 изделий без дефекта.

5. В библиотеке имеются книги только по технике и математике. Вероятности того, что любой читатель возьмет книгу по технике и по математике, равны соответственно 0,7 и 0,3. найти вероятность того, что из пяти читателей, каждый из которых берет по одной книге: 1) два человека возьмут книги по технике; 2) не менее трех человек возьмут книги по математике.

6. Вероятность хотя бы одного появления события при четырех независимых опытах равна 0,59. Какова вероятность появления события: 1) при одном опыте; 2) при двух опытах, если при каждом опыте эта вероятность одинакова.

7. Всхожесть ржи составляет 90%. Посеяны 7 зерен. Найти вероятность того, что: 1) взойдут 5 зерен; 2) взойдут от 2 до 4 зерен.

8. Среди волокон хлопка определенного сорта в среднем 75% имеют длину, меньшую, чем 45 мм, и 25 % — длину большую (или равную) 45 мм. Наудачу отобрано 6 волокон. Найти вероятность того, что: 1) 3 волокна имеют длину меньшую, чем 45 мм; 2) от 2 до 4 волокон имеют длину, большую 45 мм.

9. В результате многолетних наблюдений для некоторой местности было выяснено, что вероятность того, что в течение 1 июля выпадет дождь, равна 4/17. Рассматриваются ближайшие 50 лет. Найти: 1) наивероятнейшее число дождливых дней 1 июля; 2) вероятность хотя бы одного дождливого дня 1 июля.

10. При въезде в новую квартиру в осветительную сеть было включено 10 новых электролампочек. Каждая электролампочка в течение года перегорает с вероятностью 0,1. Найти вероятность того, что в течение года: 1) перегорит ровно 7 лампочек; 2) перегорит не менее 8 лампочек.

11. Рабочий обслуживает 12 однотипных станков. Вероятность того, что станок потребует к себе внимания рабочего в течение промежутка времени t, равна 1/3. Найти вероятность того, что: 1) за время t 4 станка потребуют к себе внимания рабочего; 2) за время t от 3 до 6 станков потребуют внимания рабочего.

12. В камере хранения ручного багажа 80% всей клади составляют чемоданы, которые вперемешку с другими вещами хранятся на стеллажах. Через окно выдачи были получены все вещи с одного из стеллажей в количестве 20 мест. Найти вероятность того, что среди них:1) было 3 чемодана; 2) не более 3 чемоданов.

13. Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее: 1) выиграть одну партию из двух или две партии из четырех; 2) выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти.

14. Рабочий обслуживает 4 станка. Каждый станок в течение 6 ч работы несколько раз останавливается и всего в сумме стоит 0,5 ч, причем остановки их в любой момент времени равновероятны. Определить вероятность того, что в данный момент времени 1) будет работать один станок; 2) будут работать не менее трех станков.

15. На складе находится партия пряжи. Известно, что партия содержит 40 % пряжи второго сорта, остальная пряжа первого сорта. Для контроля качества пряжи берут 25 мотков. Найти: 1) наивероятнейшее число мотков пряжи первого сорта; 2) вероятность того, что среди них не более 2 мотков пряжи второго сорта.

16. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле из орудия равна 0,8. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы наивероятнейшее число попаданий было равно 20?

17. Производится четыре независимых опыта, в каждом из которых событие А происходит с вероятностью 0,3. Событие В наступает с вероятностью, равной 1, если событие А произошло не менее двух раз; не может наступить, если событие А не имело места, и наступает с вероятностью 0,6, если событие А имело место один раз. Определить вероятность появления события В.

18. В мастерской работает 6 моторов. Для каждого мотора вероятность перегрева к обеденному перерыву равна 0,8. Найти вероятность того, что к обеденному перерыву: 1) перегреются 4 мотора; 2) перегреются не более 2 моторов.

19. Если известно, что на лотерейный билет выпал выигрыш, то вероятности того, что выигрышем будет велосипед или стиральная машина, равны соответственно 0,03 и 0,02. На 10 билетов из разных серий выпали выигрыши. Найти вероятность выигрыша хотя бы одного из этих предметов: 1) на 3 лотерейных билета; 2) на число лотерейных билетов от 3 до 5.

20. Вероятность того, что расход воды на некотором предприятии окажется нормальным (не больше определенного числа литров в сутки), равна ¾. Найти вероятность того, что в течение 6 ближайших дней расход воды будет нормальным: 1) в течение 4 дней; 2) в течение не менее 3 дней.

21. Прибор состоит из 10 узлов. Надежность (вероятность безотказной работы в течение времени t) для каждого узла равна 0,9. Узлы выходят из строя независимо один от другого. Найти вероятность того, что за время t: 1) откажут 2 узла; 2) не более 2 узлов.

22. Вероятность попадания в цель бомбы равна 0,3. Сбрасывается одиночно 6 бомб. Найти вероятность того, что в цель попадут: 1) ровно 3 бомбы; 2) от 2 до 4 бомб.

23. Батарея дала 10 выстрелов по военному объекту, вероятность попадания в который равна 0,2. Найти: 1) наивероятнейшее число попаданий и его вероятность; 2) вероятность разрушения объекта, если для его разрушения требуется не менее 4 попаданий.

24. Сорт «Смесь» содержит поровну конфеты четырех наименований «а», «б», «в», «г». Большое количество конфет «смесь» расфасовывается в кульки по 8 конфет в каждый для подарков на детский праздник. Найти вероятность того, что из 15 подарков: 1) в 5 окажется по одной конфете сорта «а»; 2) не более чем в 3 окажется по одной конфете сорта «а».

25. Изделия некоторого производства содержат 5% брака. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наудачу изделий: 1) окажется два бракованных изделия; 2) окажется не менее 3 бракованных изделий.

26. Изделия, изготовляемые на станке - автомате, в среднем имеют 20 % изделий первого сорта. Найти вероятность того, что среди 5 изделий будет: 1) 4 изделия первого сорта; 2) хотя бы 4 изделия первого сорта.

27. В большой серии испытаний 70 % проб указывают на наличие и 30 % на отсутствие загрязнения. Найти вероятность того, что при взятии 8 проб пять из них будут указывать на загрязнение.

28. Передается код из 6 импульсов. Найти вероятность того, что не менее двух импульсов будут искажены, если искажения независимы и появляются с вероятностью 0,25.

29. Среди деталей, изготовляемых в цехе, в среднем 4 % брака. Найти вероятность того, что среди 6 деталей, взятых на контроль: 1) две детали будут бракованными; 2) не более двух деталей будут бракованными; 3) бракованными окажутся от 2 до 4 деталей.

30. Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину при одном броске равна 0,4. Сколько нужно произвести бросков, чтобы их наивероятнейшее число попаданий оказалось равным 12?

Задача 7.