Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теоремы сложения вероятностей.

Теорема 1.Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей.

P (А+В) = P (А) +P (В)

Доказательство:

Пусть n ‒ общее число элементарных событий, в результате которых может произойти событие A или B; m ‒ число элементарных событий, благоприятствующих событию А; k ‒ число элементарных событий, благоприятствующих событию В.

Тогда событию A+B будет благоприятствовать (m+k) – элементарных событий.

Получим

Следствие1.Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Доказательство:

Следствие 2.Сумма вероятностей случайных событий, образующих полную группу, равна единице.

Распространим теорему 1 на любое число попарно несовместных событий.

Получим:

Теорема 2.

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного осуществления.

Доказательство:

Пусть n ‒ общее число элементарных событий; m ‒ число элементарных событий, благоприятствующих событию А; k ‒ число элементарных событий, благоприятствующих событию В.

Пусть среди (m+k) ‒ элементарных событий имеется l ‒ событий, благоприятствующих событиям A и B одновременно.

Тогда событию A+B будет благоприятствовать (m+k‒ l) элементарных событий.

Следовательно, получим:

Пример 1.

Из колоды в 36 карт, наудачу достается одна.

Найти вероятность того, что вынутая карта или туз, или пиковой масти.

Решение.

Событие A ‒ вынутая карта туз.

Событие B ‒ вынутая карта пиковой масти.

A+B ‒ вынутая карта или туз, или пиковой масти, или пиковый туз.

События A и B совместные, следовательно, по теореме 2 получим:

Теоремы умножения вероятностей.

События A и B называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от того, произошло или не произошло другое событие. В противном случае события называются зависимыми.

Теорема 3.Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей.

Доказательство:

Пусть ‒ общее число элементарных событий, в результате которых может произойти событие А;

‒ общее число элементарных событий, в результате которых может произойти событие B;

‒ число элементарных событий, благоприятствующих событию А;

‒ число элементарных событий, благоприятствующих событию В.

Тогда событию будет благоприятствовать – элементарных событий.

Получим:

Распространим эту теорему на любое число независимых событий.

Пример 2.

Два студента сдают экзамен. Вероятность сдачи экзамена первым студентом . Вероятность сдачи экзамена вторым студентом . Найти вероятность того, что:

1) сдадут экзамен оба студента;

2) сдаст экзамен только один студент;

3) экзамен сдаст хотя бы один из двух студентов.

Решение:

1) сдадут экзамен оба студента.

2) C ‒ сдаст экзамен только один студент.

3) D ‒ экзамен сдаст хотя бы один из двух студентов.

Второй способ решения:

экзамен не сдадут оба студента.

Пример 3.

Три стрелка производят по одному выстрелу в цель независимо друг от друга. Вероятности попадания каждого из них равны соответственно 0,7; 0,8; 0,9.

Найти вероятность того, что:

1. В цель попадет только один стрелок (событие А).

2. В цель попадет только два стрелка (событие B).

3. В цель попадет хотя бы один стрелок (событие С).

Решение:

попадание в цель i‒ стрелком. i = 1, 2, 3.

3. Первый способ.

Второй способ.

не попадет ни один стрелок.