Глава 3. Аналитическая геометрия на плоскости
Глава 3. Аналитическая геометрия на плоскости
Прямая на плоскости
I. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Пусть на плоскости Оxy задана произвольная прямая, не параллельная оси Оу и образующая угол a с положительным направлением осиОх (0£a<p).
Возьмем на прямой произвольную точку М(х;у) (рис. 7). Проведем через точку N(0;в) прямую, параллельную осиОх, а из точки М опустим перпендикуляр на ось Ох.
Рис. 7
Из треугольника NMK имеем . Отсюда или . Обозначив, , получим уравнение
(1).
Число называется угловым коэффициентом прямой, а уравнение (1) – уравнением прямой с угловым коэффициентом.
Если прямая проходит через начало координат, то в = 0 и, следовательно, уравнение этой прямой будет иметь вид
.
Если прямая параллельна осиОх, то a = 0, следовательно и уравнение (1) примет вид
.
Если прямая параллельна оси Оу, то и уравнение (1) теряет смысл, т.к. не существует. В этом случае уравнение прямой будет иметь вид
х = а,
где а – абсцисса точки пересечения прямой с осьюОх.
II. Общее уравнение прямой.
Всякое уравнение первой степени относительно х и у, т.е. уравнение вида
Ах + Ву + С = 0(2)
(где А,В иС – постоянные коэффициенты, причем А2 + В2¹ 0) определяет на плоскости некоторую прямую. Это уравнение называется общим уравнением прямой.
ЕслиВ = 0, то уравнение (2) имеет вид Ах + С = 0, т.е. - уравнение прямой, параллельной оси Оу.
ЕслиВ¹ 0, то из (2) получим уравнение вида y = kx + в - уравнение прямой с угловым коэффициентом (здесь ).
Если А = 0, то уравнение (2 ) приводится к виду - уравнение прямой, параллельной осиОх.
ЕслиС = 0, то из (2) получаем - уравнение прямой, проходящей через начало координат.
III. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Если прямая проходит через точкиМ1(х1,у1) и М2(х2,у2), то ее уравнение имеет вид
. (3).
Предполагается, что в уравнении (3) .
Если х1 = х2, то уравнение прямой имеет вид х = х1, т.е. прямая параллельна оси Оу.
Если у1 = у2, то уравнение прямой имеет вид у = у1, т.е. прямая параллельна осиОх.
IV. Уравнение прямой в отрезках.
Пусть прямая пересекает осьОх в точке М1(а;0), а ось Оу – в точке М2(0;в) (рис. 8).
Тогда уравнение (3) примет вид
или
Рис 8. (4).
Уравнение (4) называют уравнением прямой в отрезках.
V. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности.
Пусть две прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами y = k1x + в и y = k2x + в (рис. 9).
Рис. 9.
Найдем угол j между этими прямыми. Имеем . А т.к. , то
(5).
Если прямые параллельны, то . Из (5) получаем .
Обратно, если , то и прямые параллельны. Следовательно, условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов: .
Если прямые перпендикулярны, то , но не существует, а . Из (5) получаем . Справедливо и обратное. Следовательно, условием перпендикулярности двух прямых является равенство: k1k2 = -1.
Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве
Плоскость в пространстве
Рис. 18.
При любом расположении точки М на плоскости Q векторы и перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю, т.е. или
А(х-х0) + В(у-у0) + С(z-z0) = 0.(1)
Уравнение (1) есть уравнение плоскости, проходящей через данную точкуМ0(х0,у0,z0) перпендикулярно вектору . Вектор называется нормальным вектором плоскости.
Прямая в пространстве
III. Общее уравнение прямой
Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух непараллельныхз плоскостей. Система уравнений
(4)
есть общее уравнение прямой.
IY. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности
Под углом между прямыми можно понимать угол между их направляющими векторами.
Пусть прямые задаются каноническими уравнениями и . Тогда угол между ними определится по формуле
(5).
Условие параллельности двух прямых:
; (6)
Условие перпендикулярности двух прямых:
. (7).
Глава 3. Аналитическая геометрия на плоскости
Прямая на плоскости
I. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Пусть на плоскости Оxy задана произвольная прямая, не параллельная оси Оу и образующая угол a с положительным направлением осиОх (0£a<p).
Возьмем на прямой произвольную точку М(х;у) (рис. 7). Проведем через точку N(0;в) прямую, параллельную осиОх, а из точки М опустим перпендикуляр на ось Ох.
Рис. 7
Из треугольника NMK имеем . Отсюда или . Обозначив, , получим уравнение
(1).
Число называется угловым коэффициентом прямой, а уравнение (1) – уравнением прямой с угловым коэффициентом.
Если прямая проходит через начало координат, то в = 0 и, следовательно, уравнение этой прямой будет иметь вид
.
Если прямая параллельна осиОх, то a = 0, следовательно и уравнение (1) примет вид
.
Если прямая параллельна оси Оу, то и уравнение (1) теряет смысл, т.к. не существует. В этом случае уравнение прямой будет иметь вид
х = а,
где а – абсцисса точки пересечения прямой с осьюОх.
II. Общее уравнение прямой.
Всякое уравнение первой степени относительно х и у, т.е. уравнение вида
Ах + Ву + С = 0(2)
(где А,В иС – постоянные коэффициенты, причем А2 + В2¹ 0) определяет на плоскости некоторую прямую. Это уравнение называется общим уравнением прямой.
ЕслиВ = 0, то уравнение (2) имеет вид Ах + С = 0, т.е. - уравнение прямой, параллельной оси Оу.
ЕслиВ¹ 0, то из (2) получим уравнение вида y = kx + в - уравнение прямой с угловым коэффициентом (здесь ).
Если А = 0, то уравнение (2 ) приводится к виду - уравнение прямой, параллельной осиОх.
ЕслиС = 0, то из (2) получаем - уравнение прямой, проходящей через начало координат.