Свойства бинарной алгебраической операции

Определение. Операция ◦ на множестве М называется коммутативной, если для любых а и b из этого множества справедливо равенство

a ◦ b = b ◦ a.

Определение. Операция ◦ на множестве М называется ассоциативной, если для любых а, b, c M справедливо равенство

a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c.

Определение. Пусть на М задана операция ◦. Элемент е называется нейтральным относительно операции ◦, если для любого а М справедливо равенство

а ◦ е = е ◦ а = а.

Определение. Пусть на М задана операция ◦. Элемент аʹ называется симметричным к элементу а относительно операции ◦, если выполняется равенство

а ◦ аʹ = аʹ ◦ а = е.

По сложению, аʹ обозначают –а и называют противоположным. По умножению, аʹ обозначают и называют обратным.

Определение. Пусть на М задана операция ◦. Операция ◦ называется обратимой, если для любых а, b M уравнения а ◦ x = b, y ◦ a = b имеют решение, причем единственное.

Пусть дано множество, на котором выполнимы две операции ◦ и *.

Определение. Операция ◦ называется дистрибутивной относительно операции *, если для любых a, b, c M выполняются равенства

a ◦ (b*c) = (a ◦ b) *(a ◦ c),

(b*c) ◦ a = (b ◦ a) * (c ◦ a).

Пример 1 Докажем, что на множестве R бинарная операция, заданная формулой a ◦ b = коммутативна, но не ассоциативна.

Решение. Пусть a, b, c – любые действительные числа. В силу коммутативности сложения на R получим:

a ◦ b = b ◦ a,

т.е. бинарная операция нахождения среднего арифметического на R коммутативна. Далее,

(a ◦ b) ◦ c = (1)

и

a ◦ (b ◦ c) = (2)

Из результатов (1) и (2) следует, что при а ≠ с равенство (a ◦ b) ◦ c=a◦(b ◦ c) не является справедливым. Следовательно, заданная операция не ассоциативна на R.

Пример 2 Докажем, что во множестве К, содержащем не менее двух элементов, на котором формулой a ◦ b = b задана бинарная операция, не существует нейтрального элемента.

Решение

Допустим, что в К существует нейтральный элемент е, и пусть а – любой элемент из К. По определению нейтрального элемента а◦ е = а, а из условия примера следует, что а◦ е = е, т.е. а = е. Это означает, что К состоит из одного элемента. Полученный результат противоречит условию, а потому сделанное допущение ошибочно.

Задачи для решения

1 Являются ли коммутативными и ассоциативными на множестве Z бинарные операции сложения, умножения и вычитания?

2 Докажите, что на множестве бинарная операция а ◦ b = нахождения среднего геометрического коммутативна, но не ассоциативна.

3 Обладает ли множество чисел вида а + b , где a и b – любые целые числа, нейтральным элементом относительно обычного умножения? Проверьте, имеются ли в данной алгебраической системе обратные элементы для элементов 2 + и 5 - 2 . Обратима ли на данном множестве операция умножения?

4 Какие из нижеприведенных бинарных операций:

а) a ◦ b = ;

б) a ◦ b = c, где с – наибольший общий делитель чисел а и b;

в) a ◦ b = m, где m – наименьшее общее кратное чисел а и b, коммутативны и какие ассоциативны на множестве N.

5 Покажите, что действие выполняемое по правилу a ◦ b = , является коммутативной, но не ассоциативной бинарной операцией на множестве R.

6 Докажите, что относительно обычного умножения множество А={x x=3k, k Z} не содержит нейтрального элемента. Обратима ли операция умножения на множестве А?

7 Пусть I – множество подмножеств некоторого непустого множества М. Существует ли в I нейтральный элемент (если существует, то какой) относительно операции объединения подмножеств на I; пересечения подмножеств? Какие элементы множества I имеют симметричные относительно операций объединения и пересечения? Обратимы ли указанные операции на множестве I?

8 Докажите, что на множестве Q действие, выполняемое по правилу a◦b = = является бинарной, коммутативной, ассоциативной, но необратимой операцией. Обладает ли алгебраическая система < Z; ◦ > нейтральным элементом, и если обладает, то каким именно?

Виды алгебр

Определение. Алгеброй называется любое непустое множество А, на котором задана некоторая система операций

S = {

Обозначается (А, S), где А – множество, S – система операций.

Пример. (N, +), (Q, +, ∙)

Определение. Непустое множество М называется полугруппой, если в нем выполнима одна бинарная алгебраическая операция, которая является ассоциативной.

Пример. (N, +), (Z, ∙).

Определение. Непустое множество G называется группой, если в этом множестве выполнима одна бинарная алгебраическая операция ◦, которая обладает свойствами:

1) ◦ ( b ◦ c ) = ( ◦ b ) ◦ c,

2) ◦ e = e ◦ = ;

3) ◦ ʹ = ʹ ◦ = e.

Группы по сложению называются аддитивными; группы по умножению – мультипликативными.

Определение. Непустое множество G называется группой, если в этом множестве выполнима одна бинарная алгебраическая операция, которая является ассоциативной и обратимой.

Определение. Если в группе G операция коммутативна, то группа G называется абелевой.

Определение. Непустое множество К называется кольцом, если в нем выполнимы две бинарные алгебраические операции – сложение и умножение, удовлетворяющие условиям:

1)

2)

3)

4)

5)

Примеры колец. При обычных операциях сложения и умножения кольцом является множество целых чисел, множество рациональных чисел, множество действительных чисел.

Определение. Непустое множество Р называется полем, если в нем выполнимы две бинарные алгебраические операции сложение и умножение, удовлетворяющие аксиомам:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

Пример 1 Доказать, что на множество Z образует группу относительно действия, заданного формулой

◦

Доказательство

1 Рассматриваемое на Z действие сводится к сложению или вычитанию целых чисел, а т.к. сложение и вычитание элементов из Z дает в результате элемент из Z, то на множестве Z рассматриваемое действие является бинарной операцией.

2 Проанализируем возможные случаи

a) Если a, b – четные числа, а с – любое число из Z, то

◦ ◦

◦ ) ◦

т.е. ◦ ◦ ◦ ) ◦ .

б) Если a – четное число, b – нечетное, а с – любое число из Z, то

◦ ◦

◦ ) ◦

т.е. ◦ ◦ ◦ ) ◦ .

в) Если a – нечетное число, b – четное, а с – любое число из Z, то нечетно и потому

◦ ◦

◦ ) ◦

т.е. ◦ ◦ ◦ ) ◦ .

г) Если a, b – нечетные числа, а с – любое число из Z, то четно и потому

◦ ◦

◦ ) ◦

т.е. ◦ ◦ ◦ ) ◦ .

Итак, во всех возможных случаях заданная на Z бинарная операция является ассоциативной.

3 Т.к. 0 – четное число, то 0 ◦ Кроме того, если , то ◦ 0 = если же нечетно, то ◦ 0 = . Итак, 0 ◦ ◦ 0, т.е. 0 является в Z нейтральным элементом относительно заданной операции.

4 Для любого элемента в Z существует обратный элемент: для четного обратным будет противоположное число , т.к. ◦ = ; для нечетного обратным будет само число , т.к. ◦ = .

Итак, Z является группой относительно заданной операции.

Задачи для решения

1 Является ли множество Z полугруппой относительно: а) сложения, б) вычитания?

2 Является ли множество N полугруппой относительно операции нахождения наибольшего общего делителя?

3 Почему множество R не является полугруппой относительно действия, выполняемого по правилу ◦ b = для любых , b

4 Выясните, какие из нижеприведенных множеств являются группами относительно нижеуказанных операций:

а) множество Z относительно вычитания;

б) множество четных чисел относительно умножения;

в) множество целых чисел, кратных любому заданному натуральному числу n, относительно сложения;

г) множество относительно умножения;

д) множество Q относительно умножения;

е) множество Q \ {0} относительно умножения;

ж) множество R \ {0} относительно умножения;

з) множество трехмерных (n-мерных) арифметических векторов относительно сложения;

и) множество чисел вида а + b относительно сложения, если а и b – любые рациональные числа;

к) множество многочленов одной и той же степени n от одного аргумента относительно сложения;

л) множество многочленов степени не выше n относительно сложения;

м) множество многочленов от одного аргумента относительно сложения;

5 На множестве Q {0} определено действие ◦ b = . Докажите, что относительно указанного действия данное множество является группой.

6 Является ли кольцом множество L чисел вида относительно обычных операций сложения и умножения?

7 Докажите, что если на Z задана операция a ʘ b = -ab, то алгебраическая система <Z; +, ʘ> является коммутативным кольцом с единицей. Каков единичный элемент этого кольца?

8 Докажите, что множество А чисел вида 2а + 2b где a, b – любые целые числа, является числовым кольцом.

9 Для каких чисел n = 2, 3, 4, 5, 6, 7 существует поле из n элементов?

10 Почему кольцо {0} не является полем?

11 На множестве М = {a, b} сложение и умножение определены следующим образом:

Выясните, обладает ли это множество нулем и единицей и является ли система <M, > полем относительно заданных бинарных операций.