Знакомство со знаками действий.

Логика работы

1) предметный материал;

2) заменители в виде геометрических фигур

3) Наиболее часто используемый путь перехода от словесной модели к знаково-символической – использование краткой записи.

4) Для того, чтобы модель в предложенной цепочке выполняла функции абстрагирования и перевода ученика на более высокую ступень обобщений, в методике предлагается использовать схематическое моделирование

(А.В. Белошистая. Прием графического моделирования при обучении решении задач. Нач. шк. № 4, 1991).

3. Следующее умение устанавливать связи между данными и искомыми. (Мыслительные операции – сравнение, анализ, синтез, обобщение, аналогия с ранее решенными задачами);

- точечный анализ (По С.Н. Лысенкова)

- аналитический и синтетический разбор при помощи графических схем

В методике работы способам разбора выделяют следующие этапы:

1) Неявное знакомство с рассуждениями при коллективном решении задач под руководством учителя;

2) специальное знакомство уч-ся с одним из видов рассуждений. При этом работу необходимо строить так, чтобы уч-ся увидели, что соответствующие рассуждения помогают им в решении. (Е.А. Рудакова, С.Е. Царева Разбор задач с использованием графических схем. № 11-12, 1992).

Аналитический способ разбора характеризуется тем

При этом строится схема.

Синтетический способхарактеризуется тем, что

Каждое звено схемы, являясь следом мыслительной операции, позволяет удерживать в памяти данную операцию, освобождая ученика от значительной части работы памяти, оставляя больше возможностей для мысли ученика.

Для закрепления полезно предлагать следующие задания:

- провести разбор одним из способов;

- составить задачу, решение которой может быть найдено помощью цепочки вопросов;

- найти ошибку в рассуждениях;

- вставить в схему необходимые данные;

- выбрать из предложенных соответствующую схему;

- проведя рассуждение от данных к вопросу, а затем от вопроса к данным найти разные способы решения задачи.

Эффективно использование в 3 классе игровых ситуаций, когда детям предлагаются роли – учитель задает вопросы, ученики ищут план решения и составляют схемы, эксперты следят за правильностью рассуждений.

4. Умение выбрать АД и обосновать его.

5. Умение записать задачу(в этот момент происходит абстрагирование от конкретного содержания чисел);

6. Умение проверить задачу. (Происходит обобщение способа проверки и классификация).

4. Прежде чем приступить к знакомству с первыми простыми задачами, необходимо сформировать у ребенка целый комплекс умений:

- умение слушать и понимать тексты (не все дети умеют читать, когда вводятся первые простые задачи);

- умение моделировать ситуации, предлагаемые учителем,

- правильно выбирать действие в соответствии с ситуацией;

- составлять математическое выражение;

- умение выполнять простые вычисления.

Эти умения являются базовыми для подготовки ребенка к решению задач. Важным умением для правильного решения простых задач является умение правильно выбрать АД в соответствии с ситуацией заданной текстом. Все умения формируются в процессе систематической работы.

Простые задачи выполняют двоякую роль: с одной стороны они формируют понятие об АД, а с другой стороны – являются подготовительной ступенью для решения САЗ.

Методика работы над любыми задачами включает в себя этапы:

1. подготовительный;

2. ознакомления;

(этапы работы над задача в контексте урока)

- чтение задачи;

- работа по разъяснению текста задачи;

- разбор задачи (анализ) или поиск путей решения

- составления плана решения (для составных задач);

- запись решения и ответа;

- проверка и работа после решения задачи

3. Закрепления.

Самой сложной операцией в процессе решения задачи для ученика

Выбор АД – это умственная операция, которая сводится к переводу конкретной ситуации на абстрактный математический уровень. Но прежде чем выполнить операцию в умственном плане ученик должен овладеть ею в материализованном (предметном) плане.

Отсюда выявляется основная цель подготовительного этапа - создание у уч-ся готовности к выбору АД.

При этом дети усваивают знание тех связей, на основе которых выбирается АД:

1) связи операций над множествами с АД;

Знакомство учащихся с арифметическими действиями сложения и вычитания целесообразно распределить на 2 этапа:

1) подготовка к правильному пониманию различных ситуаций, соответствующих смыслу действий организуется через систему заданий, требующих предметных действий;

2) знакомство со знаком действия и обучение составлению выражения.

Методика работы по 1 этапу.

С теоретико-множественной стороны сложению соответствуют такие предметные действия как объединение и увеличение на несколько элементов либо данной совокупности, либо сравниваемой совокупности. Ребенок должен при этом научиться моделировать на предметном материале ситуации, показывать руками как процесс, так и результат предметного действия.

Задания:

1) Положить в корзину 3 яблока и 2 груши. Как узнать, сколько всего? 2) Используя счетный материал, составить модель ситуации (можно предлагать ситуации на объединение множеств и на увеличение на несколько единиц данной совокупности

Вычитаниюсоответствуют 4 вида предметных действий:

1) удаление части совокупности (множества);

2) уменьшение данной совокупности на несколько единиц;

3) уменьшение на несколько единиц совокупности, сравниваемой с данной;

4) разностное сравнение двух множеств.

Этап ознакомления.

На этапе ознакомления важно показать отличие задачи от тех заданий, которые уч-ся выполняли на этапе подготовки. Обязательным для учащихся является усвоение понятий: задача, условие, вопрос, решение, ответ.

Различные программы знакомят с ПАЗ в разной время:

- «Школа России» – в декабре 1 класса (хотя первые задачи появляются в ноябре), 3 месяца идет подготовительный период. Ранее знакомство с САЗ - февраль – март 1 класса

- Петерсон Л.Г. так же в декабре;

- Аргинская И.И. и Истомина Н.Б. вводят простые задачи во 2 классе, но при этом сразу за простой задачей знакомятся с САЗ (Более позднее введение ПАЗ объясняется подготовительной работой, цель которой:

1) сформировать навыки чтения;

2) представления о смысле действий сложения, вычитания, их взаимосвязи;

3) сформировать основные мыслительные операции – анализ, синтез, сравнение;

4) приобрести определенный опыт в соотнесении текстовой, предметной, схематической моделях).

В зависимости от характера и качества подготовки знакомство может происходить разными способами:

- объяснительно-иллюстративный способ с опорой на учебник. При этом результат дети находят путем пересчета. Рисованные данные не позволяют выделить выбор действия как проблему. В дальнейшем в учебнике появляются задания подобного рода, которые тренируют детей в употреблении новых понятий и способа оформления;

- использование «скрытой наглядности».

При таком подходе внимание детей фиксируется на выборе арифметического действия. Правильность ответа проверяется подсчетом (практический способ проверки).

Современная методика (см. Белошистая А.В.) при знакомстве с первыми задачами предлагает использовать модели, но, например, не в виде отрезков, так как это абстрактно для первоклассников, а в виде карточек с цифрами и стрелок из бархатной бумаги. На данном этапе целесообразно использовать разные виды заданий, обучающие детей моделированию задачных ситуаций на схеме.

Этап закрепления

Характеризуется уровнем сформированности общего умения решать ПАЗ.

Формирование общего умения определяется так же и тем, умеет ли ученик выполнить работу, которую предлагает учитель после решения, а именно:

- постановка нового вопроса к уже решенной задаче;

- исследование решения (использование графических схем);

- решение другим способом (для САЗ);

- обоснование правильности решения (проверка любым способом);

- изменение условия задачи так, что бы она решалась другим способом;

- постановка дополнительного вопроса на увеличение количества действий;

- внесение дополнительных данных в задачу, в соответствии с предложенным вариантом ответа.

5. Система расположения ПАЗ и их подбор строится с учетом развертывания вводимых понятий, ознакомления с АД и их свойствами. Так в 1-2 классах дети знакомятся с задачами на сложение и вычитание. С конца 2 класса и в 3 классе – на умножение и деление. Никаких определений в начальных классах не дается. ПАЗ направлены, прежде всего, на раскрытие смысла АД, который усваивается на основе практических действий.

1. Задачи, направленные на раскрытие КСАД;

2. Ко второй группе относятся задачи, раскрывающие отношения между числами;

Система расположения САЗ.

Логика введения в традиционной программе САЗ после ПАЗ, система расположения которых объясняется усвоением соответствующих теоретических знаний.

САЗ

нетиповые типовые (с пропорциональными величинами)

К нетиповым задачам относятся тексты, в которых требование выражено повествовательным предложением или текст задачи трансформирован таким образом, что она сформулирована одним предложением или условие разделено на 2 части. Решение большинства нетиповых задач связано со свойствами АД

Типовые задачи – это задачи с величинами. У них есть определенная классификация.

Класс	Нетиповые	Типовые	Форма записи решения
	Состоящие из ПАЗ известных видов	Помогающие усвоить свойства АД
1-2 кл	В 2 АД на сложение и вычитание (кроме задач, выраженных в косвенной форме)	(а+б)+с (а+б)-с а+(б+с) а-(б+с)		Выражением По действиям с пояснением По действиям без пояснения По действиям (пояснение в вопросительной форме)
3 кл.	В 2-3 АД на все арифмет. действия (все виды)	(а+б)*с (а+б):с и ранее изученные	На нахождение 4 пропорционального	Выражением, по действиям
4 кл	В 3-4 АД	а: (б*с) а*(б+с) а*(б*с) и ранее изученные	На пропорциональное деление На нахождение неизвестного по 2 разностям На движение	Выражением, по действиям

План.

1. Подготовительная работа к введению задач с пропорциональными величинами;

2. Методика обучения решению задач на нахождение четвертого пропорционального;

3. Методика обучения решению задач на пропорциональное деление;

4. Методика обучения решению задач на нахождение неизвестных по двум разностям;

5. Методика обучения решению задач на движение (самостоятельно - Бантова М. А. МПМ в начальных классах. 1984. – с. 236-241)

1. Типовыми или задачами с пропорциональной зависимостьюназывают

Задачи с пропорциональными величинами

Задание. Заполните таблицу. К практическому занятию найдите уроки (УМК «Школа России» и любой УМК на выбор), когда данные виды задач вводятся впервые.

Задачи с пропорциональными величинами представляют для младших школьников особую сложность, так как

Наиболее трудоемким действием при осознании текста задачи для младших школьников является

Поэтому на подготовительном этапе дети:

Задание. Заполните таблицу (класс и пример задачи к практическому занятию)

Класс	Тройка величин	Пример задачи
3 кл.	Цена (Ц)	Количество (К)	Стоимость (С)	Цена открытки 3 рубля. Сколько стоят 5 таких открыток?
	Масса одного предмета		Общая масса
	Расход ткани на одну вещь
	Емкость (вместимость) одного сосуда
	Длина
	Выработка в единицу времени (производительность)
	Урожай с единицы площади	Площадь
	Скорость

Тройки величин вводятся последовательно и связаны с изучением других разделов по математике. Прослеживается связь с изучением геометрического материала (например длина отрезка), с изучением геометрических величин (площадь). Ознакомление с тройкой величин ведется одновременно с раскрытием

Взаимосвязь между величинами отрабатывается на

где предложены конкретные величины: «Купили 6 шаров по 2 рубля. Сколько денег заплатили?» и

«Какими величинами мы оперируем, когда говорим о продаже и покупке? Какой может быть 3 величина, если даны масса 1 ящика и общая масса?»

Название величин целесообразно изобразить цена

После выделения и осознания учащимися величин, необходимо

Чтобы избежать шаблонных рассуждений, можно предлагать учащимся задачи с величинами, где числовые значения заменены буквами или символами.

Необходимо иметь в виду, что если в задаче идет речь об одной величине, то удобнее использовать словесную или графическую форму краткой записи, если в задаче используются три и более величин, то удобнее применять табличную форму краткой записи.

С первой тройкой величин цена, количество, стоимость лучше познакомиться через игру «Магазин». (см. учебник Бантовой М.А.). Учитель распределяет роли: продавца и покупателей. Покупки – канцелярские товары. Покупая товары, дети выясняют, что такое цена, – сколько стоит одна вещь, стоимость, – сколько заплатили за все вещи. Кратко слова заносятся в таблицу. Дети выбирают вещи, которые хотели бы купить, называя цену и количество. Продавец называет стоимость. Каждый раз делается обобщение: как найти стоимость (аналогично - цену, количество).

Далее без игровой ситуации решается несколько простых задач с использованием опоры. В случае затруднения – чертеж. Использование при этом предметных множеств неэффективно. При составлении обратных задач делается общий вывод – как найти стоимость, зная цену и количество и т.п.

Аналогично проходит работа по ознакомлению с величинами других групп и по раскрытию связей между ними.

На следующем этапе рассматривается

Понятие функции является фундаментальным понятием математики. Из вузовского курса известно, что если одна из 3 величин равна частному двух других и ее значения постоянны, то значения двух других величин изменяются

Если же одна из 3 величин равна произведению двух других и ее значения постоянны, то 2 другие величины связаны

Для осознания функциональной зависимости учащимся предлагается не одна, а система задач сходного сюжета, но отличающихся числовыми данными. Задачи удобнее записывать в таблицы и проследить за изменением величин.

Прямо пропорциональная зависимость

Цена	Количество	Стоимость
Цена	Количество	Стоимость

Обратно пропорциональная зависимость

Цена	Количество	Стоимость

Задание. Составьте задачи с прямо пропорциональной и обратно пропорциональной зависимостью.

Подготовка.

Дима и Сережа к празднику покупали открытки. Дима купил 5 открыток, а Сережа – 3. Кто из них уплатил денег больше и почему? За какое количество тетрадей денег было уплачено больше?

Дима купил на 2 открытки больше и уплатил на 10 рублей больше. Сколько стоила 1 открытка.

В качестве помощи можно использовать рисунок (квадраты) или чертеж. Данные упражнения необходимо использовать с различной тройкой величин.

Ознакомление. Задачи вводятся на специальном уроке. Методика работы аналогична.

Можно составить задачу на нахождение 4 пропорционального, а можно сразу предложить готовую задачу. В обоих случаях необходима интерпретация.

Цена	Количество	Стоимость
Одинаковая

Задача на нахождение 4 пропорционального решается детьми самостоятельно, а при проверке задачи вносятся изменения. Но разбор задачи имеет свою специфику.

Сначала выделяются величины. Проводится беседа:

Почему за наборы цветной бумаги для младшей группы уплатили больше?

Можно сделать вспомогательную иллюстрацию задачи – чертеж.

- За какое количество наборов бумаги заплатили одинаковое количество денег?

- Сколько уплатили за остальные 3 набора бумаги?

- Зная, что за 3 набора бумаги стоят 30 рублей – что можем узнать?

- Все ли нам теперь известно, чтобы узнать стоимость?

- Составим план решения.

Проверка.

Задание. Какой способ проверки целесообразнее?

Закрепление.Проводится аналогичная работа. Включаются другие тройки величин. Сравниваются задачи на нахождение по 2 разностям и на пропорциональное деление.

Логика работы

1) предметный материал;

2) заменители в виде геометрических фигур

3) Наиболее часто используемый путь перехода от словесной модели к знаково-символической – использование краткой записи.

4) Для того, чтобы модель в предложенной цепочке выполняла функции абстрагирования и перевода ученика на более высокую ступень обобщений, в методике предлагается использовать схематическое моделирование

(А.В. Белошистая. Прием графического моделирования при обучении решении задач. Нач. шк. № 4, 1991).

3. Следующее умение устанавливать связи между данными и искомыми. (Мыслительные операции – сравнение, анализ, синтез, обобщение, аналогия с ранее решенными задачами);

- точечный анализ (По С.Н. Лысенкова)

- аналитический и синтетический разбор при помощи графических схем

В методике работы способам разбора выделяют следующие этапы:

1) Неявное знакомство с рассуждениями при коллективном решении задач под руководством учителя;

2) специальное знакомство уч-ся с одним из видов рассуждений. При этом работу необходимо строить так, чтобы уч-ся увидели, что соответствующие рассуждения помогают им в решении. (Е.А. Рудакова, С.Е. Царева Разбор задач с использованием графических схем. № 11-12, 1992).

Аналитический способ разбора характеризуется тем

При этом строится схема.

Синтетический способхарактеризуется тем, что

Каждое звено схемы, являясь следом мыслительной операции, позволяет удерживать в памяти данную операцию, освобождая ученика от значительной части работы памяти, оставляя больше возможностей для мысли ученика.

Для закрепления полезно предлагать следующие задания:

- провести разбор одним из способов;

- составить задачу, решение которой может быть найдено помощью цепочки вопросов;

- найти ошибку в рассуждениях;

- вставить в схему необходимые данные;

- выбрать из предложенных соответствующую схему;

- проведя рассуждение от данных к вопросу, а затем от вопроса к данным найти разные способы решения задачи.

Эффективно использование в 3 классе игровых ситуаций, когда детям предлагаются роли – учитель задает вопросы, ученики ищут план решения и составляют схемы, эксперты следят за правильностью рассуждений.

4. Умение выбрать АД и обосновать его.

5. Умение записать задачу(в этот момент происходит абстрагирование от конкретного содержания чисел);

6. Умение проверить задачу. (Происходит обобщение способа проверки и классификация).

4. Прежде чем приступить к знакомству с первыми простыми задачами, необходимо сформировать у ребенка целый комплекс умений:

- умение слушать и понимать тексты (не все дети умеют читать, когда вводятся первые простые задачи);

- умение моделировать ситуации, предлагаемые учителем,

- правильно выбирать действие в соответствии с ситуацией;

- составлять математическое выражение;

- умение выполнять простые вычисления.

Эти умения являются базовыми для подготовки ребенка к решению задач. Важным умением для правильного решения простых задач является умение правильно выбрать АД в соответствии с ситуацией заданной текстом. Все умения формируются в процессе систематической работы.

Простые задачи выполняют двоякую роль: с одной стороны они формируют понятие об АД, а с другой стороны – являются подготовительной ступенью для решения САЗ.

Методика работы над любыми задачами включает в себя этапы:

1. подготовительный;

2. ознакомления;

(этапы работы над задача в контексте урока)

- чтение задачи;

- работа по разъяснению текста задачи;

- разбор задачи (анализ) или поиск путей решения

- составления плана решения (для составных задач);

- запись решения и ответа;

- проверка и работа после решения задачи

3. Закрепления.

Самой сложной операцией в процессе решения задачи для ученика

Выбор АД – это умственная операция, которая сводится к переводу конкретной ситуации на абстрактный математический уровень. Но прежде чем выполнить операцию в умственном плане ученик должен овладеть ею в материализованном (предметном) плане.

Отсюда выявляется основная цель подготовительного этапа - создание у уч-ся готовности к выбору АД.

При этом дети усваивают знание тех связей, на основе которых выбирается АД:

1) связи операций над множествами с АД;

Знакомство учащихся с арифметическими действиями сложения и вычитания целесообразно распределить на 2 этапа:

1) подготовка к правильному пониманию различных ситуаций, соответствующих смыслу действий организуется через систему заданий, требующих предметных действий;

2) знакомство со знаком действия и обучение составлению выражения.

Методика работы по 1 этапу.

С теоретико-множественной стороны сложению соответствуют такие предметные действия как объединение и увеличение на несколько элементов либо данной совокупности, либо сравниваемой совокупности. Ребенок должен при этом научиться моделировать на предметном материале ситуации, показывать руками как процесс, так и результат предметного действия.

Задания:

1) Положить в корзину 3 яблока и 2 груши. Как узнать, сколько всего? 2) Используя счетный материал, составить модель ситуации (можно предлагать ситуации на объединение множеств и на увеличение на несколько единиц данной совокупности

Вычитаниюсоответствуют 4 вида предметных действий:

1) удаление части совокупности (множества);

2) уменьшение данной совокупности на несколько единиц;

3) уменьшение на несколько единиц совокупности, сравниваемой с данной;

4) разностное сравнение двух множеств.

Знакомство со знаками действий.

Последовательность знакомства такова:

1) обозначить то, о чем говорится палочками;

2) обозначить указанное число палочек цифрами;

3) поставить между ними соответствующий знак действия.

Как отмечают методисты, не стоит сразу ориентировать ребенка на получение полного равенства с записью значения выражения. Полезно предлагать задания: 1) на соотнесение ситуации и выражения – подбери соответствующее выражение; 2) на составление выражений по ситуациям. После того, как дети научаться правильно выбирать знак действия и его обосновывать, переходят к составлению равенства.

Полезна работа с нестандартным текстами

(задача сформулирована одним предложением, условие поделено на 2 части, задача в виде вопроса и т.д.).

Данная работа учить ребенка внимательно анализировать задачу, устанавливая связи между данными и искомыми, не манипулируя только с числовыми данными. Неудачным является методический прием моделирования на счетном материале всех числовых компонентов.

Правильный выбор АД зависит от умения переводить различные реальные явления на язык математических символов. Для этого полезно составлять рассказы по картинке, которые на первых порах не должны содержать вопроса.

Данный этап работы можно считать завершенным, если дети будут составлять разные тексты задач.

2) связи отношений «больше на…в…», «меньше на…в…»;

3) связи между компонентами и результатами АД;

4) связи между величинами, находящимися в прямопропорциональной зависимости.

Данные связи ученики учатся записывать на языке математических знаков (полезно использовать карточки с цифрами). При формировании умения переводить реальные явления на языки математических символов следует идти не только от предметных действий к математическим знакам, но и наоборот. В подготовительный период проводится большое количество упражнений с наглядностью.

Условия корректной методической подготовки ребенка к обучению решению задач.

1. Обучение моделированию различных ситуаций;

2. Обучение выбору арифметического действия и составление математического выражения;