Производная. Правила и формулы дифференцирования.

Напомним, что приращением функции у=f(х) называется разность , где - приращение аргумента х.

Из рисунка видно, что (1).

Предел отношения приращения функции к приращению аргумента при произвольном стремлении кнулю называется производной функции у=f(х)в точкех и обозначается одним из следующих символов: у', f'(х), .

Рис. 1.

Таким образом, по определению

(2)

Если указанный в формуле (2) предел существует, то функцию f(х)называют дифференцируемой в точке х,а операцию нахождения производной у' –дифференцированием.

Из равенства (1) и определения производной, (см. формулу (2)) следует, что производная в точке х равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной в точке М(х, у), к графику функции у=f(х) (см. рис. 1).

Легко показать, что с физической точки зрения производная у'=f'(х) определяет скорость изменения функции в точке х относительно аргумента х.

Если С — постоянное число и и=и(х), v=v(x) – некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1) (С)'=0;

2) (х)'.=1;

3) (и v)'=и' v';

4) (С и)'=С и'

5)(и v)'=и' v+иv';

6) ;

7) ;

8) если у=f(и)и u= (х), т. Е. y=f( (x)) – сложная функция, составленная из дифференцируемых функций, то

или ;

9) если для функции у=f(х) существует обратная дифференцируемая функция х=g(у) и , то f'(х) = .

На основании определения производной и правил дифференцирования можно составить таблицу производных основных элементарных функций:

1)	2) ( )' = lnа•u'
3) (еu)'=еu u'	4)
5)	6) (sin u)’= соs uu’
7) (соs u)’=-sin u u’	8)
9) ;	10) (arcsin u)'=
11)	12)
13)

Уравнение касательной к кривой у=f(х) в точке Мо(х₀; f(х₀))

Уравнениe нормалик кривой у=f(х)в точке Мо(х₀; f(х₀)):

При f^/(х₀)=0 уравнение нормали имеет вид х=х₀.

Углом между кривыми в точке их пересеченияназывают угол между касательными к кривым в этой точке.

Логарифмической производной функции у=f(х)называется производная от логарифма этой функции, т. Е.

(ln f(x))’=f’(x)/f(x).

Последовательное применение логарифмирования и дифференцирования функций называют логарифмическим дифференцированием. В некоторых случаях предварительное логарифмирование функции упрощает нахождение ее производной. Например, при нахождении произ­водной функции у=и^v, где и=u(х), v=v(х), предварительное логарифмирование приводит к формуле

у =и^v ln и v' + v и ^v-1 и'.

Если зависимость между переменными у и х задана в неявном виде уравнением F(х, у)=0, то для нахождения производной у'= в простейших случаях достаточно продифференцировать обе части уравнения F(х, у)=0, считая у функцией от х, и из полученного уравнения, линейного относительно у', найти производную.

Исследование поведения функции и

Построение их графиков.

Одной из важнейших прикладных задач дифференциального исчисления является разработка общих приемов исследования поведения функций.

Функция у=f(х)называется возрастающей (убывающей)в неко­тором интервале, если большему значению аргумента из этого интер­вала соответствует большее (меньшее) значение функции, т. Е. при x₁<x₂ выполняется неравенство

f(x₁)<f(x₂) (f(x₁)>f(x₂)).

Перечислим признаки возрастания (убывания) функции.

1. Если дифференцируемая функция у=f(х) на oтрезке [а; b] воз­растает (убывает), то ее производная на этом отрезке неотрицательна (неположительна), т. Е. f'(х) 0(f' (х) 0).

2. Если непрерывная на отрезке [а; b] и дифференцируемая внутри него функция имеет положительную (отрицательную) производную, то она возрастает (убывает) на этом отрезке.

Функция y=f(х)называется неубывающей (невозрастающей)в некотором интервале, если для любых x₁<x₂ из этого интервала

f(x₁) f(x₂) (f(x₁) f(x₂)).

Интервалы, в которых функция не убывает или не возрастает, называются интервалами монотонности функций, Характер монотон­ности функции может изменяться только в тех точках ее области опре­деления, в которых меняется знак первой производной. Точки, в которых первая производная функции обращается в нуль или терпит разрыв, называются критическими.

Точка x₁называется точкой локального максимума функции у=f(x), если для любых достаточно малых | | 0 выполняется нера­венство f(x₁+ )<f(x₁). Точка x₂называется точкой локального ми­нимума функции у=f(х), если для любых достаточно малых | | 0 справедливо неравенство f(x₂+ )>f(х₂). Точки максимума и мини­мума называют точками экстремума функции, а максимумы и минимумы функции – ее экстремальными значениями.

Теорема 1 (необходимый признак локального экстремума). Еслифункция. У=f(х) имеет в точке х=х₀ экстремум, то либо f'(х₀)=0, либо f'(х₀) не существует.

В точках экстремума дифференцируемой функции касательная к ее графику параллельна оси Ох.

Теорема 2 (первый достаточный признак локального экстремума). Пусть функция у=f(х) непрерывна в некотором интервале, содержа­щем критическую точку х=х₀ и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки х₀). Если f'(х) при х<х₀ положительна, а при х>х₀ отрицательна, то при х=х₀ функ­ция у=f(х) имеет максимум. Если же f '(х) при х<х₀ отрицательна, а при х>х₀ положительна, то при х=х₀ данная функция имеет минимум.

Следует иметь в виду, что указанные неравенства должны выпол­няться в достаточно малoй окрестности критической точки х=х₀. Схема исследования функции у=f(х) на экстремум с помощью первой произ­водной может быть записана в виде таблицы.

Теорема 3 (второй достаточный признак локального экстремума функции).Пусть функция у=f(х) дважды дифференцируема и f'(х₀)=0. Тогда в точке х=х₀ функция имеет локальный максимум, если f»(х₀)<0, и локальный минимум, если f «( х₀)>0.

В случае, когда f»(х₀)=0, точка х= х₀ может и не быть экстремальной..