Основные теоремы о непрерывных функциях

Теорема 5.1. Сумма конечного числа непрерывных функций, определенных на некотором множестве Х, есть функция непрерывная.

Теорема 5.2. Произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.

С л е д с т в и е. Целый полином Р(х)=а₀+а₁х+... +а_nхⁿ есть функция непрерывная.

Теорема 5.3. Частное от деления двух непрерывных функций есть функция непрерывная во всех точках, в которых делитель отличен от нуля.

Теорема 5.4. Непрерывная функция от непрерывной функции есть функция непрерывная.

Теорема 5.5. Если y = f(x) непрерывна и строго монотонна на промежутке <а,b> , то существует обратная функция х = j(y), определенная на промежутке < f(a), f(b) >, причем последняя также монотонна и непрерывна в том же смысле.

Пример.Рассмотреть обратные функции к данным:

а) ; б) .

Рассмотрим теперь непрерывность функции на множествах.

Определение 5.5. Пусть f определена на множестве Е Ì Rⁿ . Функция f называется непрерывной в точке х⁽⁰⁾Î Е, если "e>0 $d=d(e) :

" х Î Х , удовлетворяющих условию r(х, х⁽⁰⁾) <d выполняется неравенство

çf(x)- f(x⁽⁰⁾) ç<e .

Примем без доказательства ряд простых, но важных теорем.

Теорема 5.6. (Кантора) Функция, непрерывная на ограниченном замкнутом множестве, является равномерно непрерывной.

Определение 5.6. Функция у = f(х), определенная на множестве ЕÌ Rⁿ называется равномерно непрерывной на Е, если

"e> 0 $d=d(e)>0 :" x^/, x^//Î E

удовлетворяющих условию r(x^/,x^//)<d будет выполнено неравенство çf(x^/) - f(x^//) ç<e .

Теорема 5.7. (Вейерштрасса) Всякая непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке как наибольшее, так и наименьшее значение.

Теорема 5.8. (Коши) Если f - непрерывна на [a, b] и f(b) = A, f(b) = B, то

" A < C < B $ xÎ [a, b] : f(x) = C.

С л е д с т в и е. Если f - непрерывна на [a, b], а на концах отрезка принимает значения переменных знаков (является знакопеременной), то $ точка х₀Î [a,b] : f(x₀) = 0.

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Понятие производной

Рассмотрим задачу, которая приводит к понятию производной. Пусть функция u(t) выражает количество произведенной продукции за время t. Найдем производительность труда в момент t₀. За период от t₀ до t₀+∆ t количество продукции изменится от u(t₀) до u₀+∆ u = u(t₀+∆ t). Тогда средняя производительность труда за этот период z = ∆ u/∆ t, поэтому производительность труда в момент t₀

z = lim_{∆ t→ 0}∆ u/∆ t.

Определение 1 (производная).Производной функции y = f(x) в фиксированной точке x называется предел

lim_{∆ x→ 0}∆ y/∆ x

при условии существования этого предела.

Производная обозначается следующим образом f'(x) или y'.

Пример 1. Вычислить производную функции y = sin x. Найдем приращение функции:

∆ y = sin(x+∆ x)-sin x = 2sin(∆ x/2) cos (x+∆ x/2).

Поопределениюпроизводной

(sinx)' = lim_{∆x→ 0}∆y/∆x

= lim_{∆x→ 0} (cos (x+∆x/2)(sin ∆x/2)/(∆x/2)) = cosx,

так как

lim_{∆ x→ 0}cos (x+∆x/2) = cosx.

Таким образом,

(sin x)' = cos x.

Определение 2.Правой (левой) производной называется правый (левый) предел

lim_{∆ x→ 0+0}∆ y/∆ x

lim_{∆ x→ 0-0}∆ y/∆ x ,

если эти пределы существуют.

Для обозначения правой (левой) производной используют символ: f'(x+0) (f'(x-0)). Необходимым и достаточным условием существования производной является равенство f'(x+0) = f'(x-0).

Пример 2. Доказать, что f(x) = 3|x|+1 не имеет производной в точке x = 0. Составим ∆ y = 3(0+∆ x)+1-1=3∆ x при ∆ x>0. При ∆ x<0 ∆ y = -3(0+∆ x)+1-1=-3∆ x, значит,

lim_{∆ x→ 0-0}∆ y/∆ x =-3, lim_{∆ x→ 0+0}∆ y/∆ x x = 3.

Поэтому данная функция не имеет производной в точке x = 0.