Непрерывность функции. Основные теоремы о непрерывных функциях
Понятие непрерывности функции является одним из основополагающих понятий в математическом анализе.
Пусть функция 
определенав некоторой окрестности точки 
.
Определение
Функция называется непрерывной в точке , если предел этой функции и ее значение в этой точке равны, т.е.
 . | (4.7.1) |
Так как 
, то это равенство можно переписать в следующей форме: 
.
Определение непрерывности функции можно сформулировать как «на языке последовательностей», так и «на языке e–d » в соответствии с двумя определениями предела функции в точке. Приведем здесь второе из них.
Определение
Функция называется непрерывной в точке , если для любого 
существует такое 
, что при всех 
, удовлетворяющих неравенству 
, выполняется неравенство 
.
Определение
Функция называется непрерывной справа (слева) в точке 
, если правый (левый) предел этой функции в точке 
равен значению функции в этой точке.
Символическая запись непрерывности функции справа и соответственно слева:
 или  , | (4.7.2а) |
 или  . | (4.7.2б) |
Если функция непрерывна в точке слева и справа, то она непрерывна в этой точке. В самом деле, функция имеет предел в точке , который равен ее значению в этой точке, что и означает непрерывность функции при 
.
Для практического использования полезно сформулировать еще одно определение непрерывности функции.
Определение
Назовем разность 
приращением аргумента в точке а, разность 
– приращением функции в точке 
, обусловленным приращением аргумента 
. Таким образом, , 
. Так как 
, то равенство (4.7.1) можно переписать в другой форме:
 | (4.7.3) |
Теорема
Пусть функции и 
непрерывны в точке . Тогда функции 
, 
и 
также непрерывны в точке (частное при условии, что 
).
Теорема
Если функция f(x) непрерывна в точке x0 и f(x0)>0, то существует такая окрестность точки x0, в которой f(x)>0.
Теорема
Если функция y=f(u) непрерывна в точке u0, а функция u=j(x) непрерывна в точке u0=j(x0), то сложная функция y=f[j(x)] непрерывна в точке x0, или
 . | (4.7.4) |
Точки разрыва функций и их классификация
Определение
Точками разрыва функции называются точки, в которых функция не определена или не является непрерывной.
Точки разрыва классифицируются следующим образом.
Устранимый разрыв
Точка называется точкой устранимого разрыва функции , если предел функции в этой точке существует, но в точке функция либо не определена, либо ее значение 
не равно пределу в этой точке.
Пример
Функция 
в точке 
, как известно, имеет предел, равный единице. Однако в самой точке эта функция не определена. Этот разрыв можно устранить, если доопределить функцию в этой точке значением предела в ней:
Доопределенная таким образом функция является непрерывной на всей числовой оси.
Разрыв 1–го рода
Точка называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы: 
.
Типичным примером является функция 
Для нее точка является точкой разрыва первого рода.
Разрыв 2–го рода
Точка называется точкой разрыва второго рода функции , если в этой точке функция не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.
1. Типичным примером является функция 
. Точка является точкой разрыва 2–го рода, так как 
, 
2. Для функции 
точка является точкой разрыва 2–го рода, так как ни левого, ни правого предела функции в этой точке не существует.
Кусочно–непрерывные функции
Функция называется кусочно–непрерывной на отрезке 
, если она непрерывна во всех внутренних точках , за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых имеет разрыв 1–го рода и, кроме того, односторонние пределы в точках и 
.
Упражнения
Вычислить указанные пределы:
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  ,  | ||
 |  | ||
 |
56. Определить точки разрыва функций:
, 
.
57. Найти точки разрыва функции 
и построить график этой функции.
58. Между следующими бесконечно малыми (при 
) величинами 
, 
, 
, 
, 
, 
выбрать бесконечно малые одного порядка с бесконечно малой , а также высшего и низшего порядка, чем .
59. Среди указанных бесконечно малых (при ) величин найти бесконечно малые, равносильные бесконечно малой : 
, 
, 
, 
, 
, 
.
60. Убедиться в том, что при 
бесконечно малые величины 
и 
будут одного порядка малости. Будут ли они эквивалентны?
Глава 5. Производная