Глава 5. динамические расчеты конструкций
Общие положения динамики конструкций. Динамические модели
При работе машины ее металлическая конструкция воспринимает переменные нагрузки от приводов, рабочих органов, ветра, инерционные нагрузки при движении с переменной скоростью и др. Эти воздействия вызывают упругие колебания элементов конструкции и возникновение дополнительных инерционных сил. Основными целями динамических расчетов несущих конструкций являются:
• динамические нагрузки, которые должны быть учтены в расчетах элементов конструкции на прочность, устойчивость и сопротивление усталости;
• реакция конструкции на динамические воздействия, т. е. оценка возможности резонансных явлений, определение параметров колебаний конструкции, собственных форм и частот, необходимые для обеспечения санитарно-гигиенических и технологических требований.
В основе динамических расчетов лежат следующие основные понятия и классификации. По динамическим признакам колебания делятся на четыре вида:
свободные колебания совершает упругая система, выведенная из состояния равновесия и предоставленная самой себе; они происходят без поступления энергии извне, поэтому постепенно затухают;
вынужденные колебания возникают под действием внешних периодических силовых воздействий, которые доставляют энергию в систему;
параметрические колебания возникают вследствие периодического изменения какого-либо параметра системы (массы, жесткости и т. п.) под влиянием внешнего воздействия, которое и поставляет энергию в систему;
автоколебания происходят под воздействием сил, зависящих от параметров колебательного процесса (например, флаттер элемента конструкции в потоке воздуха), при этом энергия также поступает от внешнего воздействия.
Внешние воздействия делят на силовые (нагрузки) и кинематические (п. 1.2). Медленно нарастающее воздействие не вызывает колебаний, поэтому его называют статическим. Так, динамическими явлениями можно пренебречь, если возрастание нагрузки до номинального значения происходит за время Тр>6 (5.18), где — период свободных колебаний конструкции. Нагружение, происходящее с большей скоростью, называют динамическим. Внешние динамические воздействия могут быть периодическими, т. е. изменяющимися по некоторому закону с определенным периодом (вращение эксцентричной массы), и непериодическими (отрыв груза от основания, удар ковшом по грунту, порыв ветра и пр.).
Для прогнозирования поведения конструкции при динамическом нагружении используют динамические модели, которые строятся на следующих допущениях:
• учитывают только одну-две наиболее низкочастотные формы колебаний конструкции;
• элементы механизмов, а также компактные объекты, расположенные на конструкции, считаются абсолютно жесткими сосредоточенными массами;
• перемещения, возникающие при колебаниях конструкции, весьма малы по сравнению с размерами сечений элементов.
Основным параметром динамической системы является число степеней свободы. Это число независимых друг от друга параметров, однозначно определяющих положение системы в процессе колебаний. Этими параметрами являются упругие перемещения характерных точек системы (сравнить с определением в п. 2.1.2).
Реальные конструкции имеют бесконечное число степеней свободы. Для упрощения расчета их динамическое поведение описывается с помощью динамических моделей с ограниченным числом степеней свободы. Модель представляет собой систему сосредоточенных (точечных) масс, соединенных друг с другом невесомыми упругими связями. По такой модели находят перемещения, совершаемые точечными массами при колебаниях, и усилия, возникающие в упругих связях, при наиболее низкочастотных формах колебаний конструкции. Количество точечных масс и их степеней свободы зависит от целей расчета и должно соответствовать числу форм колебаний, которые требуется выявить для расчета конструкции. Компактные аналитические решения могут быть получены только для моделей с одной-двумя степенями свободы. Более сложные системы, для динамического анализа которых требуется учитывать большее число форм колебаний, должны рассчитываться МКЭ.
Например, модель балки пролетом Lс тележкой массой , расположенной посередине, для вычисления низшей собственной частоты колебаний может быть одномассовой (рис. 5.1, а). Эта масса располагается в середине пролета и равна сумме приведенной массы балки и массы тележки , которая считается точечной (рис. 5.1, б). Если рассматриваются колебания конструкции только в одной плоскости (масса совершает только вертикальные колебания y1), то модель имеет одну степень свободы. Жесткость упругой связи см соответствует жесткости балки при изги-
Рис. 5.1. Примеры динамических моделей |
бе ( — прогиб балки от действия единичной силы в центре пролета). Схематичное изображение любой одномассовой модели с одной степенью свободы показано на рис. 5.1, в.
Если же к тележке на упругом подвесе прикреплен груз (рис. 5.1, г), то описание такой системы может потребовать создания двухмассовой модели, имеющей две степени свободы, которые характеризуют перемещение массы и перемещение массы груза на гибком подвесе (рис. 5.1, д, е). В результате расчета по такой модели могут быть получены динамические нагрузки в балке и в подвесе.
Модели, в которых в течение рассматриваемого периода геометрия, массы и жесткости элементов системы не меняются, называют стационарными. Такой системой является, например, балка с неподвижной тележкой. Если же на рассматриваемом отрезке времени параметры динамической системы изменяются, как, например, у экскаватора или крана при изменении вылета стрелы с грузом, то систему и описывающие ее модели называют нестационарными. Для упрощения расчета нестационарных систем их рассматривают на некотором коротком промежутке времени как стационарные с текущими значениями параметров.
Приведение масс
Замена распределенной массы конструкции дискретными массами выполняется из условия динамической эквивалентности. В качестве критерия эквивалентности исходной системы и дискретной модели используют условие равенства максимальных значений кинетических энергий их колебаний при одинаковых амплитудах. Рассмотрим примеры приведения масс для некоторых простейших схем.
1. Построим одномассовую модель с одной степенью свободы для двухопорной балки с пролетом Lи равномерно распределенной массой (рис. 5.2, а). Эта модель позволит найти низшую частоту колебаний балки с одной полуволной.
Зависимость перемещений точек балки от времени tпри гармонических колебаниях описывается синусоидальной зависимостью
где у(х) — упругая линия балки с максимальной амплитудой; — круговая частота колебаний.
Скорость движения произвольной точки балки при гармонических колебаниях
Максимальное смещение точек получается при и имеет значение , а максимальная скорость при
Дискретная модель содержит одну точечную массу те, расположенную в середине пролета, которая совершает колебания с той же амплитудой у0 = z/(0,5L) (рис. 5.2, б). Равенство максимальных кинетических энергий колеблющейся распределенной массы и приведенной дискретной массы имеет вид
(5.1) |
Подставив сюда находим
(5.2) |
Полагая, что упругая линия двухопорной балки при колебаниях приближенно описывается синусоидой
из (5.2) найдем
Если упругую линию описывать параболой, то получается , при использовании линии прогибов при равномерно распределенной нагрузке получим . Таким образом, результат достаточно устойчив и мало зависит от небольших вариаций при описании формы колебаний. Для инженерных расчетов принимают .
2. Приведенная масса, расположенная в центре двухопорной балки пролетом Lс консолями длиной Lkи равномерно распределенной массой ц (рис. 5.2, в, г) зависит от отношения = Lk/L.При < 0,25 получается . С увеличением коэффициент приведения растет и при = 0,5 достигает значения .
3. Для консольной балки с вылетом Lи равномерно распределенной собственной массой одномассовая модель имеет приведенную массу те на конце балки (рис. 5.2, д, е).
Масса те вычисляется по формуле (5.2), в которой следует задать выражение упругой линии балки при колебаниях. Если использовать выражение
то получится . При описании упругой линии параболой получится , а при использовании линии прогибов при равномерно распределенной нагрузке — . В инженерных расчетах для консолей постоянного сечения можно принимать .
Для консольных балок с переменной высотой (рис. 5.2,ж), у которых высота к концу консоли уменьшается в два- три раза по сравнению с корнем, можно принимать ( — масса балки). Если сечение к концу консоли уменьшается и по высоте, и по ширине, то .