Глава 5. динамические расчеты конструкций

Общие положения динамики конструкций. Динамические модели

При работе машины ее металлическая конструкция воспринимает переменные нагрузки от приводов, рабочих ор­ганов, ветра, инерционные нагрузки при движении с переменной скоростью и др. Эти воздействия вызывают упругие колебания элементов конструкции и возникновение допол­нительных инерционных сил. Основными целями динамических расчетов несущих конструкций являются:

• динамические нагрузки, которые должны быть учте­ны в расчетах элементов конструкции на прочность, устой­чивость и сопротивление усталости;

• реакция конструкции на динамические воздействия, т. е. оценка возможности резонансных явлений, определе­ние параметров колебаний конструкции, собственных форм и частот, необходимые для обеспечения санитарно-гигие­нических и технологических требований.

В основе динамических расчетов лежат следующие ос­новные понятия и классификации. По динамическим при­знакам колебания делятся на четыре вида:

свободные колебания совершает упругая система, выве­денная из состояния равновесия и предоставленная самой себе; они происходят без поступления энергии извне, по­этому постепенно затухают;

вынужденные колебания возникают под действием вне­шних периодических силовых воздействий, которые дос­тавляют энергию в систему;

параметрические колебания возникают вследствие пе­риодического изменения какого-либо параметра системы (массы, жесткости и т. п.) под влиянием внешнего воздей­ствия, которое и поставляет энергию в систему;

автоколебания происходят под воздействием сил, зави­сящих от параметров колебательного процесса (например, флаттер элемента конструкции в потоке воздуха), при этом энергия также поступает от внешнего воздействия.

Внешние воздействия делят на силовые (нагрузки) и кинематические (п. 1.2). Медленно нарастающее воздействие не вызывает колебаний, поэтому его называют статическим. Так, динамическими явлениями можно пренебречь, если возрастание нагрузки до номинального значения про­исходит за время Тр>6 (5.18), где  — период свободных колебаний конструкции. Нагружение, происходящее с боль­шей скоростью, называют динамическим. Внешние дина­мические воздействия могут быть периодическими, т. е. изменяющимися по некоторому закону с определенным пе­риодом (вращение эксцентричной массы), и непериодиче­скими (отрыв груза от основания, удар ковшом по грунту, порыв ветра и пр.).

Для прогнозирования поведения конструкции при ди­намическом нагружении используют динамические моде­ли, которые строятся на следующих допущениях:

• учитывают только одну-две наиболее низкочастотные формы колебаний конструкции;

• элементы механизмов, а также компактные объекты, расположенные на конструкции, считаются абсолютно же­сткими сосредоточенными массами;

• перемещения, возникающие при колебаниях конструк­ции, весьма малы по сравнению с размерами сечений элементов.

Основным параметром динамической системы являет­ся число степеней свободы. Это число независимых друг от друга параметров, однозначно определяющих положе­ние системы в процессе колебаний. Этими параметрами являются упругие перемещения характерных точек систе­мы (сравнить с определением в п. 2.1.2).

Реальные конструкции имеют бесконечное число степе­ней свободы. Для упрощения расчета их динамическое по­ведение описывается с помощью динамических моделей с ограниченным числом степеней свободы. Модель представ­ляет собой систему сосредоточенных (точечных) масс, со­единенных друг с другом невесомыми упругими связями. По такой модели находят перемещения, совершаемые то­чечными массами при колебаниях, и усилия, возникающие в упругих связях, при наиболее низкочастотных формах колебаний конструкции. Количество точечных масс и их степеней свободы зависит от целей расчета и должно соот­ветствовать числу форм колебаний, которые требуется вы­явить для расчета конструкции. Компактные аналитиче­ские решения могут быть получены только для моделей с одной-двумя степенями свободы. Более сложные системы, для динамического анализа которых требуется учитывать большее число форм колебаний, должны рассчитываться МКЭ.

Например, модель балки пролетом Lс тележкой массой глава 5. динамические расчеты конструкций - student2.ru , расположенной посередине, для вычисления низшей собственной частоты колебаний может быть одномассовой (рис. 5.1, а). Эта масса располагается в середине пролета и равна сумме приведенной массы балки глава 5. динамические расчеты конструкций - student2.ru и массы тележ­ки глава 5. динамические расчеты конструкций - student2.ru , которая считается точечной (рис. 5.1, б). Если рас­сматриваются колебания конструкции только в одной плос­кости (масса совершает только вертикальные колебания y1), то модель имеет одну степень свободы. Жесткость упругой связи см соответствует жесткости балки при изги-



глава 5. динамические расчеты конструкций - student2.ru Рис. 5.1. Примеры динамических моделей

бе глава 5. динамические расчеты конструкций - student2.ru ( глава 5. динамические расчеты конструкций - student2.ru — прогиб балки от действия единичной силы в центре пролета). Схематичное изображение любой одномассовой модели с одной степенью свободы показано на рис. 5.1, в.

Если же к тележке на упругом подвесе прикреплен груз (рис. 5.1, г), то описание такой системы может потребо­вать создания двухмассовой модели, имеющей две степени свободы, которые характеризуют перемещение глава 5. динамические расчеты конструкций - student2.ru массы глава 5. динамические расчеты конструкций - student2.ru и перемещение глава 5. динамические расчеты конструкций - student2.ru массы груза на гибком под­весе (рис. 5.1, д, е). В результате расчета по такой модели могут быть получены динамические нагрузки в балке и в подвесе.

Модели, в которых в течение рассматриваемого периода геометрия, массы и жесткости элементов системы не меня­ются, называют стационарными. Такой системой являет­ся, например, балка с неподвижной тележкой. Если же на рассматриваемом отрезке времени параметры динамической системы изменяются, как, например, у экскаватора или крана при изменении вылета стрелы с грузом, то систему и описывающие ее модели называют нестационарными. Для упрощения расчета нестационарных систем их рассматри­вают на некотором коротком промежутке времени как ста­ционарные с текущими значениями параметров.

Приведение масс

Замена распределенной массы конструкции дискретны­ми массами выполняется из условия динамической экви­валентности. В качестве критерия эквивалентности ис­ходной системы и дискретной модели используют усло­вие равенства максимальных значений кинетических энер­гий их колебаний при одинаковых амплитудах. Рассмотрим примеры приведения масс для некоторых простейших схем.

1. Построим одномассовую модель с одной степенью сво­боды для двухопорной балки с пролетом Lи равномерно распределенной массой глава 5. динамические расчеты конструкций - student2.ru (рис. 5.2, а). Эта модель позволит найти низшую частоту колебаний балки с одной полуволной.


Зависимость перемещений точек балки от времени tпри гармонических колебаниях описывается синусоидальной зависимостью

глава 5. динамические расчеты конструкций - student2.ru

где у(х) — упругая линия балки с максимальной амплитудой; глава 5. динамические расчеты конструкций - student2.ru — круговая частота колебаний.

Скорость движения произвольной точки балки при гар­монических колебаниях

глава 5. динамические расчеты конструкций - student2.ru

Максимальное смещение точек получается при глава 5. динамические расчеты конструкций - student2.ru и имеет значение глава 5. динамические расчеты конструкций - student2.ru , а максимальная скорость при глава 5. динамические расчеты конструкций - student2.ru

Дискретная модель содержит одну точечную массу те, расположенную в середине пролета, которая совершает ко­лебания с той же амплитудой у0 = z/(0,5L) (рис. 5.2, б). Равенство максимальных кинетических энергий колеблю­щейся распределенной массы и приведенной дискретной массы имеет вид

(5.1)

глава 5. динамические расчеты конструкций - student2.ru

Подставив сюда глава 5. динамические расчеты конструкций - student2.ru находим

(5.2)

глава 5. динамические расчеты конструкций - student2.ru

Полагая, что упругая линия двухопорной балки при ко­лебаниях приближенно описывается синусоидой

глава 5. динамические расчеты конструкций - student2.ru

из (5.2) найдем

глава 5. динамические расчеты конструкций - student2.ru

Если упругую линию описывать параболой, то получается глава 5. динамические расчеты конструкций - student2.ru , при использовании линии прогибов при равномерно распределенной нагрузке получим глава 5. динамические расчеты конструкций - student2.ru . Таким образом, результат достаточно устойчив и мало за­висит от небольших вариаций при описании формы колеба­ний. Для инженерных расчетов принимают глава 5. динамические расчеты конструкций - student2.ru .

2. Приведенная масса, расположенная в центре двухопор­ной балки пролетом Lс консолями длиной Lkи равномерно распределенной массой ц (рис. 5.2, в, г) зависит от отношения глава 5. динамические расчеты конструкций - student2.ru = Lk/L.При глава 5. динамические расчеты конструкций - student2.ru < 0,25 получается глава 5. динамические расчеты конструкций - student2.ru . С увеличением глава 5. динамические расчеты конструкций - student2.ru коэффициент приведения растет и при глава 5. динамические расчеты конструкций - student2.ru = 0,5 достигает значения глава 5. динамические расчеты конструкций - student2.ru .

3. Для консольной балки с вылетом Lи равномерно рас­пределенной собственной массой одномассовая модель име­ет приведенную массу те на конце балки (рис. 5.2, д, е).

Масса те вычисляется по формуле (5.2), в которой сле­дует задать выражение упругой линии балки при колеба­ниях. Если использовать выражение

глава 5. динамические расчеты конструкций - student2.ru

то получится глава 5. динамические расчеты конструкций - student2.ru . При описании упругой линии параболой получится глава 5. динамические расчеты конструкций - student2.ru , а при использовании линии прогибов при равномерно распределенной нагрузке — глава 5. динамические расчеты конструкций - student2.ru . В инженерных расчетах для консолей постоянного сечения можно принимать глава 5. динамические расчеты конструкций - student2.ru .

Для консольных балок с переменной высотой (рис. 5.2,ж), у которых высота к концу консоли уменьшается в два- три раза по сравнению с корнем, можно принимать глава 5. динамические расчеты конструкций - student2.ru ( глава 5. динамические расчеты конструкций - student2.ru — масса балки). Если сечение к кон­цу консоли уменьшается и по высоте, и по ширине, то глава 5. динамические расчеты конструкций - student2.ru .

Наши рекомендации