Упорядоченная совокупность элементов
– первая строкаматрицы,
– вторая строка и т.д.,
Упорядоченная совокупность элементов
– первый столбец,
– второй столбец и т.д.
В печатном тексте матрицы обозначаются прописными буквами латинского алфавита.
Для матрицы приняты также следующие обозначения:
.
Употребляются и более краткие обозначения
.
В дальнейшем будем пользоваться обозначением матрицы с круглыми скобками.
Матрицу, имеющую строк и столбцов, называют матрицей типа (читается « »).
В отдельных случаях употребляется также термин «размер матрицы».
То, что матрица имеет тип , обозначается следующим
образом: .
Две матрицы, имеющие одинаковое количество строк и столбцов, называются матрицами одинакового типа.
Если , матрица называется прямоугольной.
Квадратная матрица
Квадратной называется матрица, у которой число строк равно числу столбцов , т.е. матрица вида
.
В этом случае число называют порядком квадратной матрицы.
Квадратная матрица 1-го порядка отождествляется со своим единственным элементом, например (17).
При этом следует обратить внимание на то, что она является иным математическим объектом, чем вещественное число 17, и поэтому должна изображаться числом, заключенным в скобки.
Выпишем квадратные матрицыпервых трех порядков:
.
Ø Элементы квадратной матрицы, имеющие одинаковые значения индексов
,
составляют главную диагональ,
Ø а элементыквадратной матрицы порядка , сумма индексов каждого из которых равна , – побочную (или вторую) диагональ,
.
Сумма элементов главной диагонали квадратной матрицы называется следомматрицы.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Определители второго и третьего порядков
С понятиемматрицытесно связано понятиеопределителя.
Понятиеопределителя возникло в связи с проблемой отыскания формул, чтобы найти значения неизвестных в системелинейных уравнений.
Рассмотрим системудвух линейных уравненийс двумянеизвестными:
(2.1)
Чтобы найти неизвестное ,
Ø умножим первое уравнение на величину ,
Ø а второе на величину .
Складывая, полученные левые и правые части, получим
.
Аналогично, умножаяпервое уравнение на , второе ,
Найдём
.
Предполагая, что , получаем
. (2.2)
Непосредственной проверкой легко убедиться, что значения для неизвестных и , даваемые формулами (2.2), действительно удовлетворяют системе (2.1).
Таким образом, доказано, что если , то система (2.1) имеет единственное решение, определяемое формулами (2.2).
Рассмотрим квадратную матрицу 2-го порядка, составленную из коэффициентов при неизвестных и
, (2.3)
Определение. Определителем квадратной матрицы 2-го порядка (2.3) называется число , вычисляемое по следующему правилу:
надо взять произведение чисел, расположенных по главной диагонали (диагональ, идущая от левого верхнего угла к правому нижнему углу),
и вычесть из него произведение чисел, расположенных на побочной диагонали (диагональ, идущая от правого верхнего элемента к левому нижнему).
Для определителя, как и для матрицы, используются такие понятия, как элемент, строка, столбец, главная и побочная диагональ и т.п.
Определитель квадратной матрицы 2-го порядка кратко называют определителем или детерминантом 2-го порядка.
Определитель квадратной матрицы (2.3) обозначается двумя вертикальными черточками:
. (2.4)
Кроме того, для определителя матрицы (1.3) применяются
обозначения
(От французского слова determinant.)
Правило, по которому вычисляется определительматрицы 2-го порядка, схематически можно изобразить следующим образом:
или
– +
Пример. Вычислить определитель матрицы .
▲ . ▼
Приняв введённое определение определителя 2-го порядка, замечаем, что числители в формулах (2.2) могут быть представлены
теперь в виде
,
где матрицы и получаются из матрицы заменой первого, соответственно второго, столбца на свободные члены.
Формулы (2.2) принимают теперь следующий вид:
.
Напомним еще раз, что эти формулы применимы лишь в случае, когда .
Рассмотрим теперь систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными
(2.5)
Чтобы найтинеизвестное , умножим уравнения системы (2.5) соответственно на выражения
,
и сложим, полученные левые и правые части.
После приведения подобных членов (относительно ) окажется, что коэффициенты при неизвестных и равны нулю.
Предполагая, что коэффициентпри неизвестном отличенот нуля, получим
. (2.6)
Рассмотрим квадратную матрицу 3-го порядка
. (2.7)
Матрица составлена из коэффици..ентов при неизвестных .
Определение. Определителем квадратной матрицы 3-го порядка (2.7) называется число
Определитель матрицы (2.7) кратко называют определителем 3-го порядка и обозначают двумя вертикальными чертами или одним из символов .
Итак, по определению
(2.8)
Таким образом,
каждый членопределителя 3-го порядка представляет собой произведение трёх его элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца.
Эти произведения берутся с определенными знаками.
Со знаком плюс – три члена, состоящие из элементов главной диагонали и из элементов, расположенных в вершинах равнобедренных треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали, и с вершиной в противоположном углу.
Со знаком минус – три члена, расположенные аналогичным образом относительно побочной диагонали.
Схематически это правило (правилоСаррюса или правилотреугольников) может быть изображено следующим образом:
или
+ –
Пьер Фредерик Саррюс – французский математик.
Саррюс поступил на факультет естественных наук, окончив его со специализацией в математике в 1821 году.
С 1826 г. он преподавал в Страсбургском университете, с 1829 г. был профессором, в 1839‒1852 гг. деканом.
В 1858 г. по болезни вышел в отставку.
Пример. Вычислить определитель матрицы .
▲
. ▼
Итак, знаменатель в формуле (2.6) представляется в виде определителя .
Что касается числителя, то, поскольку он получается из знаменателя заменой чисел соответственно на числа – его можно представить в виде определителя
.
Аналогичным образом, если уравнения системы (2.5) умножим последовательно на выражение
и результаты сложим, найдём формулу для неизвестного .
Наконец, умножая уравнения (2.5) последовательно на выражения
,
найдем формулу для неизвестного .
Окончательно будем иметь
, (2.9)
где матрицы получаются из матрицы заменой соответствующего столбца на свободные члены.
Если квадратная матрица 3-го порядка является треугольной, т.е. имеет вид
или ,
то её определитель равен произведению элементов главной диагонали, т.е.
. (2.10)
Равенства (2.10) следуют из формулы (2.8).
Свойства определителей
Вычислениеопределителей значительно облегчается, если пользоваться их свойствами.
Будем излагать свойстваопределителейна примереопределителей третьего порядка.