Исследование по первой производной.
а) Найдём первую производную данной функции, применяя формулу производной частного и формулу производной сложной функции:
.
б) Найдём точки, в которых первая производная обращается в ноль: 
и не существует: 
. Для исследования функции на экстремум применяем метод интервалов:
| −1 |
| х |
| + |
| + |
| − |
| + |
Результаты можно отразить в таблице:
| x |  | –1 | (–1; 1) | 1 | (1; 5) |
 | + | + | не существует | – | |
| y | нет экстремума | нет экстремума |
| 5 |   |
| + | |
| точка минимума |
Таким образом, при 
функция возрастает, при 
– убывает. Точка 
– точка минимума, значение функции в точке минимума 
Исследование по второй производной.
а) Найдём вторую производную данной функции, применяя формулу производной частного, произведения и формулу производной сложной функции:
б) Найдём точки, в которых вторая производная обращается в ноль: 
и не существует: 
Для нахождения промежутков выпуклости и вогнутости графика функции, а также точек перегиба воспользуемся методом интервалов:
| −1 |
| х |
| − |
| + |
| + |
Результаты можно отразить в таблице:
| x |  | –1 |  | 1 |  |
 | – | + | не существует | + | |
| y | перегиб | не существует |
Таким образом, при 
– функция имеет выпуклость вверх, при 
– функция имеет выпуклость вниз. Точка 
– точка перегиба, 
Нули функции, точки экстремума и точки перегиба наносим на координатную плоскость и на основании проведённого исследования строим график данной функции.
| y |
| x |
| y=x+5 |
| x=1 |
| min |
| –1 |
| перегиб |
 |
ТЕМА 5. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Задание 1. Применяя метод замены переменной, найти неопределенные интегралы.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
32. 
Пример. 
.
Решение. Применяя к данному интегралу правило внесения под знак дифференциала, получаем: 
.
Ответ: 
Задание 2. Применяя метод замены переменной, найти неопределенные интегралы.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
32. 
Пример. 
Решение.
Применяя к данному интегралу правило внесения под знак дифференциала, получаем:
Ответ: 
Задание 3.Найти неопределенный интеграл методом интегрирования по частям.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
32. 
Пример. 
.
Решение. Применяя формулу интегрирования по частям: 
и внося 
под знак дифференциала, получаем:
Ответ: 
Задание 4. Вычислить площади фигур, ограниченных графиками заданных функций.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
32. 
Пример. 
.
Решение. Данная криволинейная трапеция получается при пересечении параболы и прямой. Найдем точки пересечения их графиков. Для этого решим совместно два уравнения: 
: 
, откуда 
.
Сделаем схематический чертеж:
| –3 |
| y |
| x |
 |
 |
Для вычисления площади криволинейной трапеции используем формулу: 
Тогда искомая площадь будет равна: 
.
Ответ: 
.