По математике для специальностей инженерно-технического профиля
По математике для специальностей инженерно-технического профиля
Кострома
2002 г
Глава I. Элементы линейной алгебры............................................................... 3
§1.1. Определители.................................................................................................................. 3
§1.2. Матрицы и линейные операции над ними................................................................. 3
Глава II. Векторная алгебра...................................................................................... 4
§2.1 Основные понятия......................................................................................................... 4
§2.2. Операции над векторами.............................................................................................. 4
§ 2.3. Переход к новому базису............................................................................................ 4
ГЛАВА III. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА................................................................................. 5
§ 3.1. Представление комплексных чисел........................................................................ 5
§ 3.2. Действия над комплексными числами................................................................... 5
ГЛАВА IV. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ.............................................................. 6
ГЛАВА V. ОПЕРАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ............................................... 6
ГЛАВА VI. КОМБИНАТОРИКА............................................................................................ 6
ГЛАВА VII. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА.......................................................................... 7
§ 7.1. Преобразования графиков функций.......................................................................... 7
§ 7.2. Корень уравнения......................................................................................................... 7
ГЛАВА VIII. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ........................................ 7
ГЛАВА IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.......................................................................................................................... 8
ГЛАВА X. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.................................................................... 9
§ 10.1. Неопределенный интеграл........................................................................................ 9
§ 10.2. Определенный интеграл.......................................................................................... 10
§ 10.3. Двойной интеграл..................................................................................................... 10
ГЛАВА XI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ................................................... 10
ГЛАВА XII. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ.......................................... 11
§ 12.1. Числовые ряды........................................................................................................... 11
§ 12.2. Функциональные ряды............................................................................................ 12
ГЛАВА XIII. Аналитическая геометрия............................................................. 12
§ 13.1. Аналитическая геометрия на плоскости........................................................... 12
§ 13.2. Аналитическая геометрия в пространстве........................................................ 13
ГЛАВА XIV. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.......................................................................... 13
§ 14.1. Случайные события.................................................................................................. 13
§ 14.2. Случайные величины............................................................................................... 13
ГЛАВА XV. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА....................................................... 15
Глава I. Элементы линейной алгебры.
Определители.
Определение: Матрицей называется таблица чисел, в которой m строк и n столбцов
, где
– элементы матрицы,
– номер строки,
– номер столбца
Только для квадратных матриц введено понятие определителя.
Теорема: Определитель матрицы или определитель n-го порядка – это число, равное сумме произведений элементов какого-либо столбца (строки) на их алгебраические дополнения. Например для второй строки:
,
где – алгебраическое дополнение к элементу
;
Определение:Минором элемента
называется определитель, получаемый из данного после вычеркивания i-ой строки и j-го столбца.
В частных случаях:
или схематический (метод треугольников):
Матрицы и линейные операции над ними.
,
,
,
справедливо:
Глава II. Векторная алгебра.
Основные понятия.
Если , где
;
;
– координаты вектора
,
,
,
– вектора базиса; то модуль или длина вектора
определяется по формуле:
Если вектора и
коллинеарны, то
Операции над векторами.
Пусть ,
.
Тогда
1)
2) Скалярное произведение векторов и
:
3) В пространстве последняя формула примет вид:
, где
,
.
Переход к новому базису.
В некотором базисе даны вектора: ,
,
.
Требуется найти координаты вектора в новом базисе, образованном векторами
и
, т.е. решить векторное уравнение:
,
,
которое сводится к системе линейных уравнений:
ГЛАВА III. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.
Действия над комплексными числами
Комплексное число называется сопряженным к комплексному числу
Степени мнимой единицы:
…
…
…
…
,
В частных случаях:
ГЛАВА V. ОПЕРАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ.
& – знак конъюнкции, логического умножения;
Ú – знак дизъюнкции, логического сложения;
1. ,
;
2. ,
;
3. ,
;
4. ,
;
5. ;
6. ,
,
,
;
7. ,
;
8.
9.
ГЛАВА VI. КОМБИНАТОРИКА.
Сочетания: (порядок элементов внутри выборки не важен)
Размещения: (порядок элементов внутри выборки важен)
Перестановки:
Корень уравнения.
Если уравнение имеет единственный корень при
, то уравнение
так же имеет корень при
.
Основные неопределенности.
,
,
,
,
.
Правила дифференцирования.
Если ,
– дифференцируемые функции,
то
1.
2.
3.
Формулы дифференцирования:
,
,
,
Следствие: ,
Формула Лапиталя.
Дифференциал функции.
Применение дифференциального исчисления в исследовании функции
1) Если дифференцируемая функция возрастает (убывает) на отрезке
, то
.
2) Если дважды дифференцируемая функция выпукла (вогнута) на отрезке
, то
.
Замечание: 1. Частные производные функции нескольких переменных находятся по тем же правилам и формулам, что и для функции одной переменной, полагая, что все переменные, кроме той, по которой производится дифференцирование, являются константами.
2. Градиент функции определяется по формуле:
Неопределенный интеграл.
Таблица интегралов.
Некоторые тригонометрические формулы, применяемые при интегрировании:
,
,
,
Разложение дроби на простейшие при интегрировании рациональных дробей:
, т.е. дробь правильная
Определенный интеграл.
§ 10.3. Двойной интеграл.
Числовые ряды.
Выражение вида:
, где
называется числовым рядом. Если
, то ряд называется знакопостоянными.
Сумма первых членов ряда называется частичной суммой:
.
Ряд называется сходящимся, если существует , в противном случае – расходящимся. Ряды чаще всего исследуются на сходимость с помощью признаков сходимости.
Для знакопостоянных рядов наиболее применимы следующие:
1. необходимый признак сходимости ряда:
если , то ряд расходится, при
– ответ дать нельзя;
2. признак Даламбера:
3. признаки сравнения;
4. признак Коши: Если сходится, то и ряд сходится; если интеграл расходится, то и ряд расходится. Функция
строится по формуле
– общего члена ряда:
,
, … ,
, …
Замечание: 1. Ряд вида называется гармоническим. При
ряд сходится, при
– расходится.
2. Ряд, составленный из членов геометрической прогрессии сходится при
, и расходится, если
.
Функциональные ряды.
Ряд Тейлора для функции :
Случайные события.
Классическое определение вероятности:
Вероятностью события называется отношения числа благоприятных исходов событию
к общему числу равновозможных событий, образующих полную группу, т.е.
, при этом очевидно:
.
События называются несовместными, если наступление одного из них исключает наступление другого.
События называются независимыми, если вероятность наступления одного из них не влияет на вероятность наступления другого.
Теоремы сложения и умножения вероятностей:
– для независимых событий
и
.
– для зависимых событий
и
.
– для несовместных событий
и
.
– для совместных событий
и
.
Случайные величины.
Полной характеристикой случайной величины является её функция распределения
. Для дискретной случайной величины более удобной формой задания является ряд распределения:
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
– возможные значения случайной величины
;
– вероятность того, что случайная величина
примет значение
В ряде задач бывает достаточно иметь не полную информацию о случайной величине, а только её основные числовые характеристики:
– математическое ожидание;
– дисперсия;
– среднеквадратическое отклонение.
Формулы для вычисления:
Для непрерывной случайной величины эти характеристики определяются через функцию плотности распределения
;
Для равномерно распределённой случайной величины функция плотности распределения имеет вид:
Для нормально распределённой случайной величины числовые характеристики являются параметрами плотности распределения:
;
,
Для случайной величины распределенной по закону Пуассона:
;
.
Параметр показательного закона распределения определяется: l=1/ M(X)
Свойства числовых характеристик:
1. ,
1.
,
2. 2.
3. 3.
независимы
по математике для специальностей инженерно-технического профиля
Кострома
2002 г
Глава I. Элементы линейной алгебры............................................................... 3
§1.1. Определители.................................................................................................................. 3
§1.2. Матрицы и линейные операции над ними................................................................. 3
Глава II. Векторная алгебра...................................................................................... 4
§2.1 Основные понятия......................................................................................................... 4
§2.2. Операции над векторами.............................................................................................. 4
§ 2.3. Переход к новому базису............................................................................................ 4
ГЛАВА III. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА................................................................................. 5
§ 3.1. Представление комплексных чисел........................................................................ 5
§ 3.2. Действия над комплексными числами................................................................... 5
ГЛАВА IV. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ.............................................................. 6
ГЛАВА V. ОПЕРАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ............................................... 6
ГЛАВА VI. КОМБИНАТОРИКА............................................................................................ 6
ГЛАВА VII. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА.......................................................................... 7
§ 7.1. Преобразования графиков функций.......................................................................... 7
§ 7.2. Корень уравнения......................................................................................................... 7
ГЛАВА VIII. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ........................................ 7
ГЛАВА IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.......................................................................................................................... 8
ГЛАВА X. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.................................................................... 9
§ 10.1. Неопределенный интеграл........................................................................................ 9
§ 10.2. Определенный интеграл.......................................................................................... 10
§ 10.3. Двойной интеграл..................................................................................................... 10
ГЛАВА XI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ................................................... 10
ГЛАВА XII. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ.......................................... 11
§ 12.1. Числовые ряды........................................................................................................... 11
§ 12.2. Функциональные ряды............................................................................................ 12
ГЛАВА XIII. Аналитическая геометрия............................................................. 12
§ 13.1. Аналитическая геометрия на плоскости........................................................... 12
§ 13.2. Аналитическая геометрия в пространстве........................................................ 13
ГЛАВА XIV. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.......................................................................... 13
§ 14.1. Случайные события.................................................................................................. 13
§ 14.2. Случайные величины............................................................................................... 13
ГЛАВА XV. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА....................................................... 15