Виды математических абстракций: абстракция отождествления, идеализации, абстракции осуществимости.

В научном познании различают несколько видов абстрагирования, простейшим из которых является абстракция отождествления, когда у предметов некоторого класса выделяется определенное общее свойство, а от всех других свойств отвлекаются. Относительно выделенного общего свойства все предметы соответствующего класса являются тождественными, и поэтому оно может быть абстрагировано, или отделено от других свойств. В результате этого образуются особые понятия, например, такие, как тяжесть, стоимость и число.

Абстракция отождествления — способ формирования общих абстрактных понятий, состоящий в том, что при рассмотрении каких-либо реальных, осязаемых исходных объектов принимаются во внимание лишь те их различия, которые по тем или иным причинам оказываются для нас существенными, и игнорируются другие — несущественные. Объекты, различающиеся лишь несущественным образом, начинают считать одинаковыми

Для изолирующей абстракции характерно отвлечение некоторых свойств и отношений изучаемых предметов и рассмотрение их как индивидуальных, самостоятельных объектов, как, например, белизна, яркость, доброта, дружба. Во всех этих примерах конкретное свойство, присущее реальным предметам, рассматривается как самостоятельный абстрактный объект.

Более сложный характер присущ абстракциям, связанным с образованием математических понятий, когда приходится отвлекаться от возможностей построения соответствующих математических объектов. Например, в абстракции потенциальной осуществимости отвлекаются от реальной возможности построения тех или иных математических объектов и допускают осуществимость построения следующего объекта при наличии достаточного времени, пространства и материалов. Например, вслед за данным натуральным числом N допускается возможность построения, следующего за ним натурального числа N + 1. На этой основе образуется, во-первых, абстракция и соответственно понятие потенциальной бесконечности, а именно потенциальная возможность построения в неограниченном ряду следующего объекта, если задан предыдущий объект. Поэтому натуральный ряд чисел в данном случае рассматривается как неограниченно продолженный, поскольку допускается возможность прибавления к данному числу единицы и образование следующего натурального числа.

Можно ввести понятие потенциальной бесконечности как неограниченного процесса построения математических объектов, который не имеет последнего шага. Действительно, гипотеза потенциальной осуществимости допускает, что после n шага всегда возможен n+1 шаг. А это означает, что в принципе допустимо существование безграничного процесса, или потенциальной бесконечности. Элементы такой бесконечности не существуют одновременно, они последовательно возникают в процессе построения. Именно так и воспринимается натуральный ряд чисел как ряд, начинающийся с 1, последовательно переходящий к числам 2, 3, 4... и не имеющий последнего члена. Требуется немалое усилие, чтобы представить этот ряд в виде закопченного множества чисел. Это показывает, что сама идея потенциальной бесконечности интуитивно значительно яснее, чем идея актуальной бесконечности. Поэтому логично предположить, что именно идея потенциальной бесконечности первоначально возникла в математике.

Можно применить более сильную абстракцию и образовать понятие актуальной бесконечности, в котором отвлекаются от реальной возможности построения любого натурального числа и допускают возможность построения неограниченного множества таких чисел, как актуально построенного, завершенного. Тем самым бесконечное множество уподобляется конечному множеству.

Сущность абстракции актуальной бесконечности состоит в отвлечении от незавершенности и незавершимости процесса образования бесконечногоnмножества, от невозможности задать такое множество посредством полного перечисления его элементов. Согласно абстракции актуальной бесконечности, в бесконечном множестве можно выделить (индивидуализировать) каждый его элемент. Но на самом деле зафиксировать и описать каждый элемент бесконечного множества принципиально невозможно. Абстракция актуальной бесконечности и представляет собой отвлечение от этой невозможности, что позволяет рассматривать, например, отрезок прямой как бесконечное множество точек, каждую из которых можно индивидуализировать, обозначив ее каким-то действительным числом.

Понятие актуальной бесконечности возникает с помощью процесса идеализации. В данном случае идеализация дает возможность применять к бесконечным множествам простой и хорошо изученный аппарат классической логики. Этот аппарат возник и вполне оправдал себя при исследовании конечных множеств. Идеализированный характер актуальной бесконечности состоит в том, что о бесконечном множестве рассуждают по аналогии с конечными множествами. Кроме того, здесь абстрагируются от конкретных способов построения элементов бесконечного множества и даже допускают, что все его элементы существуют одновременно, а не возникают в процессе построения.

Поскольку актуальная бесконечность представляет собой чрезвычайно сильную абстракцию, то с пониманием ее связан целый ряд трудностей. Прежде всего интуиция восстает против представления бесконечности и виде завершенного процесса. Завершенность бесконечности нередко понимается как ее уничтожение. Так, например, натуральный ряд чисел обычно мыслится как неограниченно продолженный, и интуиции нелегко свыкнуться с представлением о законченности этого ряда.

Особой разновидностью абстрагирования является процесс идеализации, который представляет собой предельный переход от реально существующих свойств явлений к свойствам идеальным. Например, из физики известны такие идеализации, как абсолютно упругое тело, несжимаемая жидкость, идеальный газ и т.д., которые не существуют в реальном мире и потому являются упрощениями, которые помогают лучше понять свойства реальных твердых, жидких и газообразных веществ.