Абстрагирование в математике. Понятие математического абстрагирования.

По сравнению с естествознанием в математике процесс абстрагирования идет значительно дальше. В известном смысле справедливо утверждать, что там, где естествоиспытатель останавливается, математическое исследование только начинается. Лучше всего это можно проиллюстрировать на примере геометрии. Хорошо известно, что пространственные свойства материальных тел не существуют обособленно от самих тел. Они всецело определяются внутренними и внешними связями тел, но для лучшего понимания пространственных свойств исследователь вынужден временно абстрагироваться от всех их других свойств, кроме геометрических. Понятие геометрического тела представляет крайне односторонний снимок с действительности. Уже понятие физического тела представляет абстракцию, так как здесь отвлекаются от всех нефизических свойств. В понятии же геометрического тела отвлекаются и от физических свойств и сохраняют лишь его пространственные свойства. Естественно поэтому, что в теоретической физике наряду с широким применением математических понятий главное значение имеют специфические для этой науки физические понятия. В некоторых разделах механики, например, в кинематике, физическая абстракция почти приближается к математической, поскольку материальное тело в известных условиях (малость размеров в сравнении с расстоянием между телами) отождествляется с материальной точкой. Но уже в пределах кинематики встречаются с такими специфическими физическими характеристиками тела, как его скорость, ускорение и т. п.

Вторая важнейшая особенность математической абстракции состоит в том, что абстрагирование здесь чаще всего осуществляется через ряд последовательных ступеней обобщения. Поэтому в математике преобладают абстракции от абстракций. В простейшей форме этот процесс встречался при выяснении происхождения понятия числа. Первоначально понятие числа еще не отделяется от сосчитываемых совокупностей и поэтому выступает как именованное число. Впоследствии оно освобождается от этой конкретности и выступает как отвлеченное понятие.

Эти две ступени абстракции мало чем отличаются от соответствующих абстракций естествознания. Но в математике отвлечение идет дальше. Если на втором этапе с понятием числа связывались еще конкретные отвлеченные числа, как, например, 1, 2... 15 ...100 и т. д., то на третьем этапе абстрагируются также и от конкретного значения числа. На этой основе и возникло понятие о любом возможном натуральном число, к которому пришли еще древние греки. Оперирование с таким понятием имело чрезвычайно большое значение для математики, так как оно давало возможность отвлекаться от конкретных чисел и обеспечивало возможность доказывать теоремы в общем виде.

Еще более отчетливо аналогичные этапы абстрагирования можно выделить в развитии такого фундаментального понятия всей математики, каким является функция. К самому понятию функциональной зависимости ученые пришли из рассмотрения конкретных взаимосвязей между различными величинами, которые встречаются в самых разнообразных задачах естествознания и техники. По сути дела, большинство законов точного естествознания выражает функциональную связь различных величин.

В математике изучаются различные виды функций (целые, рациональные, логарифмические, тригонометрические и т. д.). Чтобы иметь возможность рассуждать о любых функциях, исследователь должен отвлечься от конкретных особенностей вышеперечисленных и других функций и ввести абстрактное понятие функции вообще. Это будет уже следующий этап абстрагирования. Дальнейший этап связан с образованием понятия функционала, который служит естественным обобщением функции и содержит его как частный случай.

Число таких примеров можно было бы легко увеличить. Достаточно напомнить процесс обобщения таких понятий, как абстрактное математическое пространство, интеграл, группа и другие, чтобы убедиться в том, что процесс обобщения в математике, как правило, проходит ряд ступеней абстракции, каждая из которых сопровождается расширением объема соответствующего понятия.

Во всей истории математики можно выделить три больших исторических этапа в развитии ее абстракций. На первом этапе, связанном с возникновением арифметики и геометрии, отвлекаются от конкретной, качественной природы объектов. На втором этапе, когда вводится буквенная символика и происходит переход к алгебре, стали отвлекаться уже от конкретных чисел и величин. Наконец, на третьем этапе, связанном с переходом к современной математике, стали отвлекаться не только от конкретной природы объектов, но и от конкретных зависимостей между ними. Так, например, под операцией умножения теперь понимают не только умножение чисел, но и векторов, множеств каких-либо объектов («пересечение» множеств) и даже предложений (в математической логике). Таким образом, переменными здесь становятся не только объекты исследования, но и сами операции над ними.

Третья особенность математической абстракции состоит в значительном использовании так называемых идеальных объектов. Уже «точка», «прямая», «плоскость» Евклидовой геометрии представляют идеальные объекты, так как образуются посредством идеализации. Если же идеализацию понимать несколько шире, а именно как процесс образования таких понятий, которые или выражают свойства реальных объектов в искаженном виде, или приписывают им свойства, отсутствующие у них, тогда можно будет с известным основанием утверждать, что непосредственным объектом исследования математики являются именно абстрактные, или идеальные, математические объекты. Разумеется, что эти объекты не плод чистой фантазии. Они, как и вся математика в целом, служат для познания действительности. Но математика оперирует ими именно как идеальными объектами.

По существу, такими же идеальными объектами являются понятия математической бесконечности потенциальной и актуальной. При образовании этих понятий приходится прибегать к различным абстракциям осуществимости. Использование различных абстракций осуществимости составляет четвертую важную особенность математического познания. В частности, эти абстракции осуществимости ведут к разным понятиям бесконечности, которые в свою очередь порождают различные философские направления, такие как интуиционизм, конструктивизм и т. д., о чем подробнее будет сказано ниже.

Пятая важная особенность, непосредственно связанная с предыдущими, состоит в том, что многие системы абстракций в математике, возникнув на базе опыта и практики или даже в процессе чисто логического развития теории, не требуют в дальнейшем обращения к опыту. Действительно, в математике повсюду оперируют одними лишь абстракциями, т. е. обращаемся прежде всего к логике, а не к эксперименту, как это часто имеет место в естествознании.