Вопрос 4 Классические и современные представления о предмете математики.
Математика, как и другие науки, изучает действительный, материальный мир, объекты этого мира и отношения между ними. Однако в отличие от наук о природе, исследующих различные формы движения материи (механика, физика, химия, биология и т. д.) или формы передачи информации (информатика, теория автоматов и другие разделы кибернетики), математика изучает формы и отношения материального мира, взятые в отвлечении от их содержания. Поэтому математика не изучает никакой особой формы движения материи и, следовательно, не может рассматриваться как одна из естественных наук.
Во второй половине XIX в. Ф. Энгельс дал следующее определение предмета математики: «Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть — весьма реальный материал». При этом он указывал: «Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне, как нечто безразличное; таким путем мы получаем точки, лишенные измерений, линии, лишенные толщины и ширины, разные аи b, x и y, постоянные и переменные величины»
Из этих слов Энгельса вытекает, что исходные понятия математики, бывшие предметом изучения с самого зарождения математической науки, — натуральное число, величина и геометрическая фигура — заимствованы из действительного мира, являются результатами абстрагирования отдельных черт материальных объектов, а не возникли путем «чистого мышления», оторванного от реальности. В то же время, для того чтобы стать предметом математического исследования, свойства и отношения материальных объектов должны быть абстрагированы от их вещественного содержания.
Таким образом, специфика математики состоит в том, что она выделяет количественные отношения и пространственные формы, присущие всем предметам и явлениям, независимо от их вещественного содержания, абстрагирует эти отношения и формы и делает их объектом своего исследования.
Однако определение Ф. Энгельса в значительной мере отражает состояние математики во второй половине XIX в. и не учитывает те ее новые области, которые непосредственно не связаны ни с количественными отношениями, ни с геометрическими формами. Это, прежде всего, математическая логика и дисциплины, связанные с программированием для ЭВМ. Поэтому определение Ф. Энгельса нуждается в некотором уточнении. Возможно, нужно сказать, что математика имеет своим объектом изучения пространственные формы, количественные отношения и логические конструкции.
Предмет математики в действительном мире - это пространственные
формы и количественные отношения мироздания. Отсюда вытекает проблема
выделения количественных отношений в чистом виде, то есть возникает
вопрос, как описать отношения равенства, принадлежности, соизмеримости,
геометрические отношения и т.п. таким образом, чтобы это описание не
зависело от содержания объектов.
Характерные черты математики как науки. Противоречия как движущие силы математики. Источники нового в математике: практика, внутренние потребности самой математики, необходимость обоснования математики.
Отметим следующие характерные черты математической науки:
1) Математика изучает абстрагированные свойства предметов — числа, а не совокупности предметов, геометрические фигуры, а не реальные тела. При этом математика абсолютизирует свои абстракции: возникшие в ходе ее развития математические понятия в дальнейшем закрепляются и рассматриваются как данные. Например, хотя теперь известно, что свойства реального пространства отличны от предполагавшихся Евклидом, построенная им геометрия сохранила свое значение, как одна из возможных моделей реального пространства. Сравнение результатов, полученных в математике, с реальной действительностью является задачей не столько математики, сколько ее приложений.
2) Основным методом получения математических результатов является логический вывод, не опирающийся на экспериментальную проверку.
3) Как следствие этого имеет место непреложность математических выводов. Если приняты исходные посылки, то полученные из них математическим путем результаты непреложны. Если же результаты расходятся с опытом, то следует подвергнуть исследованию принятые посылки.
4) Абстракции, возникающие в математике, развиваются ступенчато — от абстракций, непосредственно обобщающих свойства реальных предметов, к абстракциям столь высокого уровня, как топологические пространства, общие алгебраические системы, алгоритмы и т. д.
5) Математика обладает свойством универсальной применимости. В любой области, где только удается математически поставить задачу, математика дает результат с точностью, соответствующей точности постановки задачи. При этом, чем более отвлеченными от содержания являются используемые в исследовании понятия и методы, тем шире область возможных применений этих методов. Однако эта универсальность не является абсолютной — сама возможность применения математических методов предполагает известный уровень абстрактности данной науки. Кроме того, ошибочность принятых положений не может быть исправлена сколь угодно тонким математическим анализом.
6) Наконец отметим, что математика занимает особое положение в системе наук — её нельзя отнести ни к гуманитарным, ни к естественным наукам. Она дает те основные понятия, которые используются почти во всех науках. Такие понятия, как «множество», «структура», «система», «изоморфизм» и т. д., впервые возникшие в математике, сейчас приобрели статус общенаучных понятий.
Практика является одним из важных источников новых проблем и понятий в математике. Однако прогресс математики невозможен без внутреннего развития самой математики. Стремление к общности результатов, их завершенности независимо от возможных применений — неисчерпаемые источники прогресса математики. На всех этапах ее развития постоянно возникали и возникают проблемы, связанные с упорядочением и переосмысливанием, полученных ранее результатов. Так, упорядочение логических основ математики привело к созданию н развитию таких ее абстрактных областей, как математическая логика, теория алгоритмов, теория множеств. Примером внутреннего развития математической теории может служить также теория случайных процессов, возникшая в 30-х годах нашего столетия из разрозненных фактов и примеров физики, демографии, радиотехники.
Наконец, существует еще немаловажный стимул в развитии математики — любопытство и воображение исследователя. Стремление к познанию окружающего нас мира является характерной чертой человека, это движущая сила прогресса всего человеческого общества. При этом здравый смысл и интуиция играют важную роль в творчестве математиков. Более того, ряд выдающихся математических идей появились, опередив существующие стандарты строгости. Так было, например, с созданием основ анализа бесконечно малых величин, а также с такими фундаментальными понятиями математики, как предел, алгоритм, вероятность, которыми пользовались без строгого их уточнения. Вместе с тем, какой бы полезной ни была математическая идея, рано или поздно возникает необходимость в построении строгого логического фундамента, обеспечивающего формальную непротиворечивость математической теории.
Потребности развития самой математики, "математизация" различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, прогресс вычислительной техники привели к появлению ряда новых математических дисциплин, например, исследование операций, теория игр, математическая экономика и др.
В основе построения математической теории лежит аксиоматический метод, при котором в фундамент теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами теории, а все остальные предложения теории получаются как логические следствия аксиом. Примером применения аксиоматического подхода в математике является евклидовая геометрия, в которой четко проведена идея получения основного содержания геометрической теории чисто дедуктивным путем из небольшого числа аксиом, истинность которых представлялась наглядно очевидной.