Символический метод расчета цепей переменного тока.

http://www.websor.ru/metod_rascheta.html

Соединим последовательно лампу накаливания с сопротивлением R, батарею конденсаторов с емкостью С и катушку с большой индуктивностью L. Если данную цепь присоединить к зажимам генератора переменного тока, то лампа загорится, что свидетельствует о наличии электрического тока в цепи, несмотря на разрыв, существующий между изолированными друг от друга обкладками конденсатора.
Для цепи переменного тока с последовательным соединением R, L, С (см. рисунок) дифференциальные уравнения по второму закону Кирхгофа имеют вид:

Здесь ток во всех трех участках один и тот же:

Разности потенциалов на всех трех сопротивлениях имеют вид:

Решение системы дифференциальных уравнений можно существенно упростить, если перейти от дифференциальных уравнений к алгебраическим. Это можно сделать, изображая синусоидальные величины (i, u) в комплексной форме, т.е. в виде вектора на комплексной плоскости.

Вектор Um и его проекции.

Расположим под углом относительно оси абсцисс вектор Um, длина которого в масштабе равна амплитуде изображаемой величины. Положительные углы будем откладывать в направлении против часовой стрелки.
Проекции вектора на вертикальную ось мнимых величин в комплексной плоскости равны мгновенному значению напряжения.

Система векторов на комплексной плоскости называется векторной диаграммой. Вектора вращаются относительно центра координат с одной и той же скоростью и поэтому относительно друг друга их положение не меняется. Векторная диаграмма изображается неподвижной в заданный момент времени, определяемый начальнойфазой какой-либо величины, например, для идеальных элементов R, L, С

Векторные диаграммы для идеальных элементов R, L, C.

Сложение двух функций в тригонометрической форме трудоемко, но легко производится в векторной форме.

Векторные диаграммы сложения двух напряжений

В расчетах применяют три формы записи комплексных величин:

1) алгебраическая

2) тригонометрическая

3) показательная, учитывая

Символ j перед мнимой частью комплексного числа в алгебраической форме означает, что мнимая часть повернута по отношению к вещественной на угол 90° в положительном направлении (против часовой стрелки).
Переходы из одной формы записи в другие:

Где

Где

Представленная ранее система дифференциальных уравнений для цепи переменного тока с R, L, Св комплексном виде записывается следующим образом:

Используя выражения , запишем выражение для полного напряжения цепи:

Где - комплексное сопротивление;

- комплексная амплитуда напряжения;

- комплексная амплитуда тока.
При замене амплитудных значений на действующие получим закон Ома в комплексной форме:

Величину Zназывают полным сопротивлением цепи переменного тока.
Первый закон Кирхгофа в комплексной форме:

Второй закон Кирхгофа в комплексной форме:

Векторная диаграмма напряжений для цепи с последовательным соединением R, L, C будет представлять собой прямоугольный треугольник.

Треугольник напряжений

Треугольники токов, сопротивлений и мощностей строятся аналогично

Полная мощность S = UI;
активная мощность
реактивная мощность где

В треугольниках напряжений, токов, сопротивлений и мощностей угол сохраняет свое значение.
При параллельном соединении ветвей их проводимости складываются в комплексной форме:

Общий ток, согласно первому закону Кирхгофа:

14. Мощности в цепи синусоидального тока. Треугольник мощностей.

http://toe-kgeu.ru/toe1/286-toe1