Одноканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди

Пусть СМО имеет только один канал (n=1), на который поступает пуассоновский поток заявок П_вх с интенсивностью . Поток обслуживания простейший и имеет интенсивность m. Заявка, поступившая на вход в момент, когда канал занят обслуживанием не покидает систему, а становится в очередь и ожидает обслуживания. Далее предполагаем, что в данной системе имеется ограничение на длину очереди, под которой понимается максимальное число мест в очереди, а именно то, что в очереди могут находиться максимум m заявок (m≥1). Поэтому заявка, пришедшая на вход СМО, в момент, когда в очереди уже стоят m заявок, получает отказ и покидает систему необслуженной.

Итак, рассматриваемая СМО относится к системам смешанного типа с ограничением на длину очереди.

Таблица 8.7 - Параметры одноканальной СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди

№ п/п	Параметры	Обозначения, значения, формулы
1.	Число каналов обслуживания	n=1
2.	Максимальная длина очереди (максимальное число мест в очереди)	m≥1
3.	Интенсивность входящего простейшего потока заявок Пвх	, (l не зависит от времени t)
4.	Производительность канала – интенсивность простейшего «потока обслуживаний» Поб (среднее число заявок, обслуживаемое каналом за единицу времени при непрерывной работе канала без простоя)	, (m не зависит от времени t)

Таблица 8.8 - Предельные характеристики эффективности функционирования одноканальной СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди

№ п/п	Предельные характеристики	Обозначения, формулы
1.	Показатель нагрузки СМО - трафик системы
2.	Вероятности состояний СМО рk, k=0, 1, …, n, выраженные через трафик r
3.	Вероятности состояний СМО рk, k=0, 1, …, n, выраженные через средний интервал времени между соседними поступающими заявками, и среднее время обслуживания одной заявки
4.	Вероятность отказа ротк
5.	Вероятность того, что заявка будет принята в систему (не получит отказ) рсис
6.	Относительная пропускная способность СМО (средняя доля обслуженных заявок среди поступивших)
7.	Абсолютная пропускная способность СМО (среднее число обслуживаемых заявок за единицу времени)
8.	Интенсивность выходящего потока обслуженных заявок

Продолжение таблицы 8.8

№ п/п	Предельные характеристики	Обозначения, формулы
9.	Среднее число заявок в очереди
10.	Среднее число заявок, находящихся под обслуживанием
11.	Среднее число заявок, находящихся в системе (как в очереди, так и под обслуживанием)
12.	Среднее время ожидания заявки в очереди (формула Литтла)
13.	Среднее время пребывания заявки в СМО (как в очереди, так и под обслуживанием) (формула Литтла)
14.	Среднее время обслуживания одной заявки, относящееся только к обслуженным заявкам
15.	Среднее время обслуживания одной заявки, относящееся ко всем заявкам, как к обслуженным, так и получившим отказ (формула Литтла)

Задача 8.3

На АЗС имеется одна колонка. Площадка при станции, на которой машины ожидают заправку, вмещает не более трёх машин одновременно и, если она занята, то очередная машина, прибывшая к станции, в очередь не становится, а уезжает дальше. Машины прибывают на станцию каждые 2 минуты. Процесс заправки одной машины продолжается в среднем 2,5 минуты.

Определить:

· Вероятность отказа;

· Относительную и абсолютную пропускные способности СМО;

· Среднее число машин, ожидающих заправки;

· Среднее время ожидания машины в очереди;

· Среднее время ожидания машины на АЗС.

Решение:

В условиях задачи математической моделью АЗС является одноканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди, имеющая своими параметрами:

ограничение на длину очереди m=3;

интенсивность входящего потока (маш./мин);

среднее время обслуживания одной машины =2,5 мин;

интенсивность потока обслуживаний (маш./мин);

показатель нагрузки СМО (эрланга).

Определим предельную вероятность отказа:

или 29,75% - то есть в установившемся режиме из 100 машин в среднем 30 машин получит отказ.

Определим значение относительной пропускной способности:

или 70,25% - то есть в установившемся режиме из 100 машин в среднем 70 машин будет обслужена, т.е. обслуживается 2/3 всех заявок.

Определим значение абсолютной пропускной способности:

- то есть в установившемся режиме абсолютная пропускная способность 0,3513 машин в минуту.

Определим среднее число заявок в очереди:

- то есть в установившемся режиме среднее число машин, ожидающих в очереди на заправку равно двум машинам.

Определим среднее число заявок, находящихся под обслуживанием:

- то есть в установившемся режиме среднее число машин, находящихся под обслуживанием равно одной машине. То есть среднее число машин, ожидающих в очереди на заправку практически в два раза выше, чем среднее число машин, находящихся под обслуживанием.

Определим среднее число заявок, находящихся в системе:

- то есть в установившемся режиме среднее число машин, связанных с АЗС равно двум машинам.

Определим среднее время ожидания заявки в очереди:

- то есть в установившемся режиме среднее время ожидания машины в очереди составляет 3,1 минуты.

Определим среднее время пребывания заявки в СМО:

- то есть в установившемся режиме среднее время, проведённое машиной на станции, составляет 4,9 минуты.

Определим среднее время обслуживания одной заявки, относящееся ко всем заявкам, как к обслуженным, так и получившим отказ:

- то есть в установившемся режиме среднее время обслуживания одной машины относящееся ко всем машинам – обслуженным и необслуженным, составляет 1,8 минуты.

Таким образом, необходимо либо сократить время обслуживания одной машины (увеличить интенсивность потока обслуживаний), либо увеличить число колонок, либо увеличить площадку для ожидания. Оптимальное решение принимается с учётом затрат, связанных соответственно с увеличением штата обслуживания персонала (увеличение производительности канала), с расширением площадки для ожидания или приобретения дополнительной колонки, и потерь, связанных с потерей заявок на обслуживание.

Контрольные вопросы

1. Чему равно число состояний одноканальной СМО с ограничением на длину очереди в m заявок?

2. Чему равны предельные вероятности состояний системы для одноканальной СМО с числом мест в очереди m и единичной приведённой интенсивностью?

3. Чему равна вероятность отказа для одноканальной СМО с числом мест в очереди m и единичной приведённой интенсивностью?

4. Чему равно среднее число заявок под обслуживанием для одноканальной СМО с ограниченном числом мест в очереди m?

5. Чему равно среднее время ожидания заявки в очереди для одноканальной СМО с ограниченном числом мест в очереди m?

6. Чему равно среднее время нахождения заявки в СМО для одноканальной СМО с ограниченном числом мест в очереди m?

7. Чему равно среднее время обслуживания одной заявки в СМО для одноканальной СМО с ограниченном числом мест в очереди m?