Замена переменной в неопределённом интеграле (интегрирование подстановкой).

Пусть .

Тогда . Здесь t(x) – дифференцируемая монотонная функция.

При решении задач замену переменной можно выполнить двумя способами.

1. Если в подынтегральной функции удаётся сразу заметить оба сомножителя, и f(t(x)), и , то замена переменной осуществляется подведением множителя под знак дифференциала: , и задача сводится к вычислению интеграла . Например, (задача сведена к вычислению , где t = cosx) (аналогично находится интеграл от ); (задача сведена к вычислению , где t = sin x) .

2. Замену переменной можно осуществлять формальным сведением подынтегрального выражения к новой переменной.

Пример 1.

Имеет смысл перейти к переменной (сделать подстановку) t = sin x. Выражаем все множители подынтегрального выражения через переменную t:

в результате:

(возвращаемся к исходной переменной)

.

Пример 2. .

Подынтегральная функция содержит два множителя, ни один из которых не является производной другого, поэтому подводить их под знак дифференциала бесполезно. Попытаемся ввести новую переменную, такую, чтобы корни извлеклись:

=

Пример 3. (интеграл №19 из табл.).

Здесь подынтегральная функция состоит из единственного множителя; можно опять попытаться сделать такую замену переменной, чтобы корень извлёкся. Структура подкоренного выражения подсказывает эту замену: (или , ):
.

Интеграл свёлся к интегралу от квадрата косинуса. При интегрировании чётных степеней синуса и косинуса часто применяются формулы, выражающие и через косинус двойного угла: .

Поэтому
.

Пример 4.

dx= = dt= dt= +С= +С

Интегрирование по частям

Производится по формуле:

Пример 5.

= =

=x· =x·

Пример 6.

= =

= =

Пример 7.

= =

= .

Определенный интеграл, его свойства и вычисление

Определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

= F(a)-F(b)

– соответственноверхний и нижний пределы интегрирования, они пишутся и читаются снизу вверх, а в формулу подставляются сверху вниз!)

Основные свойства определенного интеграла:

1. При перестановке пределов интегрирования изменяется знак интеграла:

2. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

3. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их определенных интегралов.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Пример 1.

= =27-8=19.

Вычисления определённого интеграла методом введения новой переменной

Пример 2.

=

= = = =

Пример 3.

= - =

=- ( )=-

Вычисление определенного интеграла по частям

Используем формулу:

-

Пример 4.

=

- + =

=( )+ -1-1= -2;

Пример 5.

=-6xctgx + =

=-6· -6· +ln|sinx| =π + ln|sin |- ln|sin |=

= π + ln1- ln = π + 0+ln2= π +ln2

Нахождение площадей фигур

Криволинейной трапециейназывается плоская фигура, ограниченная осью
, прямыми , и графиком непрерывной на отрезке функции , которая не меняет знак на этом промежутке. Пусть данная фигура расположена не ниже оси абсцисс:

Тогда площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу .

Определенному интегралу (если он существует) геометрически соответствует площадь некоторой фигуры.

Пример 1.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , ,
, .

Это типовая формулировка задания. Первый и важнейший момент решения – построение чертежа.

Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение задает ось ):

О какой площади идет речь, очевидно. Решение продолжается так:

На отрезке график функции расположен над осью , поэтому:

Ответ:

После того, как задание выполнено, всегда полезно взглянуть на чертеж и прикинуть, реальный ли получился ответ.

Пример 2.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , и координатными осями.

Решение: Выполним чертеж:

Если криволинейная трапеция расположена под осью (или, по крайней мере, не вышеданной оси), то её площадь можно найти по формуле:

В данном случае:

Ответ:

Внимание! Не следует путать два типа задач:

1) Если Вам предложено решить просто определенный интеграл без всякого геометрического смысла, то он может быть отрицательным.

2) Если Вам предложено найти площадь фигуры с помощью определенного интеграла, то площадь всегда положительна! Именно поэтому в только что рассмотренной формуле фигурирует минус.

Пример 3.Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями
, .

Решение: Сначала нужно выполнить чертеж. Вообще говоря, при построении чертежа в задачах на площадь нас больше всего интересуют точки пересечения линий. Найдем точки пересечения параболы и прямой . Это можно сделать решив уравнение или построив линии поточечно. Решим уравнение:

Значит, нижний предел интегрирования , верхний предел интегрирования .

Возвращаемся к нашей задаче: рациональнее сначала построить прямую и только потом параболу. Выполним чертеж:

А теперь рабочая формула: Если на отрезке некоторая непрерывная функция больше либо равна некоторой непрерывной функции , то площадь фигуры, ограниченной графиками данных функций и прямыми , , можно найти по формуле:

Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, и, грубо говоря,важно, какой график ВЫШЕ (относительно другого графика), а какой – НИЖЕ.

В рассматриваемом примере, очевидно, что на отрезке парабола располагается выше прямой, а поэтому из необходимо вычесть

Искомая фигура ограничена параболой сверху и прямой снизу.

На отрезке , по соответствующей формуле:

Ответ:

Пример 4.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ,
, , .

Решение: Сначала выполним чертеж:

Фигура, площадь которой нам нужно найти, представлена крупной штриховкой(внимательно смотрите на условие – чем ограничена фигура!).

Этот пример еще полезен и тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определенных интегралов. Действительно:

1) На отрезке над осью расположен график прямой ;

2) На отрезке над осью расположен график гиперболы .

Совершенно очевидно, что площади можно (и нужно) приплюсовать, поэтому:

Ответ:

Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
,

Представим уравнения в явном виде , и выполним поточечный чертеж:

Из чертежа видно, что верхний предел у нас «хороший»: .

Но чему равен нижний предел?! Понятно, что это не целое число, но какое? Может быть ? Но где гарантия, что чертеж выполнен с идеальной точностью, вполне может оказаться что . Или корень. А если мы вообще неправильно построили график?

В таких случаях приходиться тратить дополнительное время и уточнять пределы интегрирования аналитически.

Найдем точки пересечения прямой и параболы .

Для этого решаем уравнение:

,

Действительно, .

На отрезке , по соответствующей формуле:

Ответ:

Пример 6.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
, ,

Решение: Изобразим данную фигуру на чертеже.

С пределами интегрирования здесь проблем нет, они следуют прямо из условия: – «икс» изменяется от нуля до «пи». Оформляем дальнейшее решение:

На отрезке график функции расположен над осью , поэтому:

Используем основное тригонометрическое тождество в виде

Проведем замену переменной , тогда:

Новые пределы интегрирования:

(4) Здесь мы использовали свойство определенного интеграла , расположив пределы интегрирования в «привычном» порядке

Ответ:

Использованные источники:

1. http://mathprofi.ru/

2. http://www.webmath.ru/