Теорема Пуассона для схемы Бернулли

Предположим, нам нужна вероятность получить десять успехов в 1000 испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха 0,003. Вероятность этого события по формуле Бернулли будет равна:

,

и вычисление здесь весьма проблематично.

Сформулируем теорему о приближенном вычислении вероятности какого-либо числа успехов в большом числе испытаний схемы Бернулли с маленькой вероятностью успеха. Термин «большое число» должен означает, что . При этом и вероятность успеха не меняется внутри одной серии испытаний. Обозначим через –число успехов в - ной серии испытаний.

Теорема Пуассона. Пусть , так, что . Тогда для любого числа вероятность получить успехов в испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха стремится к величине .

– формула Пуассона.

Пользуясь теоремой Пуассона, можно приближенно посчитать вероятность получить десять успехов в 1000 испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха 0,003, с вычисления которой мы начали. Поскольку «велико», а = 0,003 «мало», то, взяв , можно написать приближенное равенство:

.

Замечание. Для закона Пуассона наиболее вероятное число успехов равно .

Пример. Завод «Золотая балка» (Крым) отправил в Москву 1500 бутылок вина «Каберне». Вероятность того, что в пути бутылка может разбиться, равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет разбито не более 4-х бутылок.

Решение. Событие ={в пути будет разбито не более 4-х бутылок}.

Искомая вероятность представляет собой сумму вероятностей:

, то есть вероятностей того, что будет разбита одна бутылка, две бутылки, три бутылки, четыре бутылки и т.д.

Так как , , , то вероятность события найдем, используя формулу Пуассона:

и т.д.

.

Локальная теорема Лапласа

Пусть теперь число испытаний велико, , и вероятность появления успеха в одном испытании достаточно велика. К данной схеме теорема Пуассона неприменима, а по формуле Бернулли вычисления затруднительны. Тогда справедлива теорема Лапласа.

Локальная теорема Лапласа. Если вероятность появления события в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие появиться ровно раз в испытаниях, приближенно равна:

, где .

Формула называется асимптотической формулой Лапласа.

Функция – функция Гаусса.

Функция Гаусса табулирована, то есть ее значения помещены в таблицы, соответствующие положительным значениям аргумента (приложение 1). Пользуясь таблицей, следует учитывать, что:

а) функция Гаусса четная, то есть ;

б) при можно считать, что .

Замечание 1. Асимптотическая формула Лапласа даёт при одном и том же результаты тем лучше, чем ближе вероятность к 0,5.

Замечание 2. Критерий, позволяющий однозначно определить закон:

– если , то справедлива теорема Пуассона ;

– если , то справедлива локальная теорема Лапласа.

Пример. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка равна 0,7. Найти вероятность того, что при 200 выстрелах мишень будет поражена 160 раз.

Решение. Здесь .

Применим локальную формулу Муавра–Лапласа.

Имеем: , следовательно,

.

Учитывая, что: (определяем по таблице приложения 1), получим:

.