И «Теория случайных процессов»

Образовательные технологии.

Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» состоит из двух частей. В первой части – общеобразовательной - студенты изучают основы теории вероятностей, знакомятся с основными понятиями, определениями и теоретическими моделями случайных величин, способами задания законов распределения вероятностей. Большое внимание уделяется знакомству с предельными теоремами теории вероятностей, позволяющими ориентироваться специалисту в конкретных ситуациях практической деятельности. На этом этапе учебный процесс проходит в традиционной форме: лекции и практические занятия, на которых решаются задачи, имеющие своей целью изучение предмета и места теории вероятностей в общеобразовательном процессе.

Во второй части студенты изучают математическую статистику.

Это:

- основные принципы сбора и обработки экспериментальных данных;

- постановка конкретных задач, которые могут быть решены путём статистической обработки данных;

- правила формулирования окончательных выводов и информации, полученных в результате применения различных методов математической статистики.

На лекциях студент знакомится с основными разделами математической статистики, различным вариантам постановки задач при обработке статистических данных и правильной формулировке получающихся результатов обработки. Для закрепления теоретического материала каждый студент получает индивидуальное задание – набор статистических данных, которые он самостоятельно, с применением компьютерных технологий обрабатывает по мере накопления теоретического материала.

В результате изучения «Теория случайных процессов» студент знакомится с общим определением случайного процесса и с основными типами случайных процессов, которые могут встретиться специалисту в практической работе. Эта - третья часть общего курса имеет только теоретический характер

6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.

I. Образцы вариантов контрольных работ

Контрольная работа №1

ВАРИАНТ № образец

1. В урне шесть белых и четыре чёрных шара. Из урны вынимают наудачу пять шаров. Найти вероятность того, что два из них будут белыми, а три – чёрными.

2. В первой партии 45 годных и 5 бракованных деталей, во второй партии 50 годных и 10 бракованных деталей. Наудачу из каждой партии берут по одной детали. Найти вероятность того, что они обе бракованные.

3. Наугад выбираются по одной букве из слов «корова» и «кошка». Найти вероятность того, что эти буквы окажутся одинаковыми.

4. Брошено две монеты. Если выпали два «герба», то из урны №1 извлекается один шар, в противном случае шар извлекается из урны №2. Урна №1 содержит пять чёрных и два белых шара. Урна №2 содержит два чёрных и пять белых шаров. Какова вероятность того, что шар извлекался из урны №1, если он оказался чёрным?

ВАРИАНТ № образец

1. Игральная кость бросается два раза. Найти вероятность того, что во второй раз выпадет большее число очков, чем в первый раз.

2. В первой урне 10 белых и 15 чёрных шаров, во второй урне 12 белых и 20 чёрных шаров и в третьей 15 белых и 10 чёрных шаров. Из каждой урны наудачу извлекают по два шара. Найти вероятность того, что все вынутые шары одного цвета.

3. Пассажир забыл последнюю цифру шифра в автоматической камере хранения и набирает её наудачу. Определить вероятность того, что для открытия ячейки ему понадобится не более четырёх попыток.

4.В левом кармане пять монет по 50 коп. и три монеты по 10 коп., а в правом кармане четыре монеты по 50 коп. и шесть монет по 10 коп. Из правого кармана в левый наудачу перекладывается одна монета, после чего из левого кармана также наудачу извлекается одна монета, оказавшаяся пятидесятикопеечной. Какова вероятность того, что в левый карман была переложена десятикопеечная монета?

Контрольная работа №2

ВАРИАНТ № образец

1. Две игральных кости одновременно подбрасывают шесть раз. Постройте ряд распределения случайного числа появлений хотя бы одной шестёрки на верхних гранях брошенных костей. Чему равно математическое ожидание этого случайного числа?

2. При каком значении параметра а функция:

будет плотностью вероятности случайной величины x. Найти математическое ожидание Мx. Чему равна вероятность случайного события ?Сделать чертёж.

ВАРИАНТ № образец

1. Баскетболист бросает мяч в корзину до первого попадания, но ему разрешается сделать не более пяти попыток. Постройте ряд распределения случайного числа сделанных промахов. Чему равна вероятность того, что число сделанных промахов будет нечётным, если вероятность попадания при одном броске у этого баскетболиста равна ?

2. При каком значении параметра а функция:

будет плотностью вероятности случайной величины x. Найти функцию распределения F(x), математическое ожидание Мx. Чему равна вероятность случайного события ?Сделать чертёж.

Контрольная работа №3

ВАРИАНТ № образец

1. На окружности радиуса r наудачу ставится точка. Из этой точки параллельно горизонтальному и вертикальному диаметрам проводятся две хорды, которые берутся в качестве сторон прямоугольника. Две другие стороны прямоугольника, проводятся параллельно этим хордам. Определите математическое ожидание и дисперсию величины площади получающегося прямоугольника.

2. В первой урне находятся два белых и три чёрных шара. Во второй урне – три белых и два чёрных шара. Из первой урны во вторую наудачу перекладывается один шар, а затем из второй урны сразу извлекаются два шара. Для двумерной случайной величины – число переложенных и число извлечённых шаров белого цвета построить таблицу распределения. Найти частные распределения компонент.

3. С какой уверенностью можно ожидать, что при 900 подбрасываниях игральной кости значение относительной частоты выпадений нечётного числа очков отклонится от вероятности менее чем на 0,015?

ВАРИАНТ № образец

1. По сторонам прямого угла образованного координатными осями, концами скользит линейка длиною l. Все значения координаты её правого конца на оси абсцисс – равновозможные. Найдите математическое ожидание величины расстояния от линейки до начала координат.

2. В урне находятся один белый, два красных и три чёрных шара. Наудачу с возвращением каждый раз извлекаются два шара. Для случайных чисел появившихся шаров белого и красного цвета постройте таблицу распределения вероятностей.

3. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с уверенностью не меньшей чем 0,95 можно было утверждать, что число наступлений события будет не менее 80?

II. Индивидуальные задания по математической статистике

Методические указания

Для лучшего усвоения приёмов и методов математической статистики каждый студент получает индивидуальное задание.

Это задание представляет собой наборы статистических данных, полученных экспериментальным путём, и являются выборками значений двумерных случайных величин. В ходе выполнения работы студент должен выполнить следующие пять заданий, соответствующим пяти модулям теоретического курса.

Корреляционный анализ.

Оценка силы статистической связи между случайными величинами. Определение методом наименьших квадратов статистических оценок коэффициентов функции регрессии. Построение соответствующей геометрической иллюстрации.

Все задания выполняются последовательно по мере накопления теоретического материала. Студент представляет для зачёта каждое выполненное задание. Выполнение заданий предполагает использование персонального компьютера. Все задания представляются в распечатанном виде. После получения зачёта выполненные задания остаются у студента и могут в дальнейшем быть использованы как руководства по математической обработке статистических материалов.

и «Теория случайных процессов»

Направление подготовки

Прикладная математика и информатика 010400

Профиль подготовки

_________________

Квалификация (степень) выпускника

Бакалавр

Форма обучения

очная

Ростов-на-Дону

2011
1. Цели освоения дисциплины

Целью освоения дисциплины является выстраивание общего контекста математического мышления как культурной формы деятельности, определяемой как структурными особенностями математического знания, так и местом математики в системе наук.

Курс «Теория вероятностей и математическая статистика» - общеобразовательная математическая дисциплина, объектом изучения которой является большая область математики, связанная с понятиями случайности событий и измерением степени возможности появления этих событий. проведением экспериментальных исследований и математической обработкой их результатов, формулировкой полученных результатов.

Курс «Теория вероятностей и математическая статистика» читается студентам специальности “прикладная математика и информатика” в VI и VII семестрах. Цель преподавания – ознакомить студентов с задачами и методами теории вероятностей и математической статистики в объёме, достаточном для успешного практического использования полученных знаний в дальнейшей работе по специальности, а также для самостоятельного изучения соответствующей научной литературы.

I.2. Задачи изучения дисциплины.

В результате изучения настоящего курса студент должен:

1) овладеть основами теории вероятностей, усвоив понятия множества элементарных исходов, алгебры случайных событий, вероятностной функции как числовой функции множеств, случайной величины, функции распределения случайной величины и числовых характеристик случайной величины;

2) ознакомится с методами и результатами решения классической предельной проблемы теории вероятностей, а также с применением этих результатов к решению задач статистической оценки значений числовых характеристик случайных величин и векторов и статистической проверки гипотез, построению простейших регрессионных моделей;

3) приобрести навыки практического решения вероятностных задач, постановки задач проведения статистического эксперимента, научится приёмам и методам статистической обработки экспериментальных данных и формулированию обоснованных выводов по результатам этой обработки.

I.3. Перечень дисциплин с указанием разделов (тем), знание которых необходимо для изучения теории вероятностей и математической статистики.

1) Элементы теории множеств (операции над множествами, конечные и бесконечные множества, сравнение бесконечных множеств по мощности, алгебра множеств);

2) Математический анализ (теория пределов, непрерывные и дифференцируемые функции, ряды, преобразование Фурье);

3) Теория функций и функциональный анализ (понятия меры и измеримости множеств, интеграла Лебега, гильбертова пространства, различных видов сходимости последовательностей).

2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата

Дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» и «Теория случайных процессов» в структуре ФГОС ВПО содержится в профессиональном цикле Б.3.

Дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» и «Теория случайных процессов» логически связаны с основными курсами, включенными в учебный план (математический анализ, дискретная математика, алгебра, аналитическая геометрия, функциональный анализ). Предполагается, что учащиеся владеют основными понятиями математического и функционального анализа, теории множеств, высшей алгебры, математической логики, компьютерных наук.

Изучение дисциплин позволит студентам получить более глубокое представление о теории меры, познакомиться с предельными теоремами теории вероятностей, являющимися обоснованиями методов математической статистики, знать основные типы случайных процессов и, в частности, иметь достаточное полное представления о цепях Маркова.

Знания, полученные при изучении этих дисциплин, необходимы в практической работе при сборе и обработке статистических данных, для правильного формулирования цели и результатов обработки информационного материала.

Для оценки успешности освоения дисциплин «Теория вероятностей и математическая статистика» и «Теория случайных процессов» проводятся три контрольных работы по теории вероятностей. При изучении математической статистики студенты выполняют индивидуальные задания по обработке статистических данных и получают опыт формулирования выводов по получившимся результатам. Итоговой формой контроля являются: зачёт в конце шестого семестра, экзамен после седьмого семестра и зачёт после восьмого семестра.

3. Компетенции обучаемого, формируемые в результате освоения дисциплины

В результате освоения данной дисциплины выпускник должен:

Знать:

- правовые и этические нормы и использовать их в профессиональной деятельности (ОК-2);

- сущность и значение информации в развитии современного общества, основные требования информационной безопасности, в том числе защиты государственных интересов и приоритетов (ОК-9);

- определение общих форм, закономерностей и инструментальных среств предметной области (ПК-1);

- знать корректность постановок задач (ПК-9);

- суть точности фундаментального знания (ПК-13).

Уметь:

- находить, анализировать и контекстно обрабатывать научно-техническую информацию (ПК-14);

- извлекать полезную научно-техническую информацию из электронных библиотек и реферативных журналов (ПК-17);

- самостоятельно увидеть следствия сформулированного результата (ПК-6);

- ориентироваться в постановках задач (ПК-8);

- демонстрировать способность к письменной и устной коммуникации на русском языке (ОК-15).

Владеть:

- методами математического и алгоритмического моделирования при анализе постановок математических задач (ПК-20);

- методами математического и алгоритмического моделирования при решении прикладных задач (ПК-21);

- исследовательскими навыками (ОК-7);

- навыками работы с компьютером (ОК-12);

- публично представлять собственные и известные научные результаты (ПК-18).

4. Структура и содержание дисциплины (модуля)

Общая трудоемкость дисциплины составляет 360 часов (в том числе: 108 часов лекционных +36 часов практических аудиторных занятий) и предусмотрены следующие формы отчётности: 3 контрольных работы, зачёт выполнения индивидуального задания по математической статистике, 2 зачёта и экзамен.

Общая трудоёмкость дисциплины составляет 8 зачетных единиц.

№	Модуль	Се- местр	Неделя семе-т- стра	Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах)	Формы текущего контроля успеваемости (по неделям семестра) Форма промежуточной аттестации (по семестрам)
лекц. прак. сам. раб.
	Классическая часть. Случайное событие		1-3				Контрольная работа №1
	Вероятностное пространство. Аксиоматика А.Н. Колмогорова		4-5
	Случайная величина		6-10				Контрольная работа №2
	Числовые характеристики случайной величины		11-18				Контрольная работа №3 Зачёт
	Предельные теоремы теории вероятностей		1-4
	Первичная обработка статистических данных. Точечные оценки		5-7				Индивид. задание №1
	Интервальные оценки		8-9				Индивид. задание №2
	Статистическая проверка гипотез		10-14				Индивид. задание №3 и №4
	Корреляционный и регрессионный анализ		14-18				Индивид. задание №5 Экзамен
	Понятие случайного процесса. Семейство конечномерных распределений		1-3
	Числовые характеристики случайных процессов		4-5
	Типы и примеры случайных процессов		6-8
	Марковские цепи. Классификация состояний марковской цепи		9-12
	Теоремы солидарности и эргодичности
	Дифференциальные уравнения А.Н. Колмогорова		14-15
	Задачи теории массового обслуживания		16-18				Зачёт
	Всего	3 сем.	3 18

Образовательные технологии.

Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» состоит из двух частей. В первой части – общеобразовательной - студенты изучают основы теории вероятностей, знакомятся с основными понятиями, определениями и теоретическими моделями случайных величин, способами задания законов распределения вероятностей. Большое внимание уделяется знакомству с предельными теоремами теории вероятностей, позволяющими ориентироваться специалисту в конкретных ситуациях практической деятельности. На этом этапе учебный процесс проходит в традиционной форме: лекции и практические занятия, на которых решаются задачи, имеющие своей целью изучение предмета и места теории вероятностей в общеобразовательном процессе.

Во второй части студенты изучают математическую статистику.

Это:

- основные принципы сбора и обработки экспериментальных данных;

- постановка конкретных задач, которые могут быть решены путём статистической обработки данных;

- правила формулирования окончательных выводов и информации, полученных в результате применения различных методов математической статистики.

На лекциях студент знакомится с основными разделами математической статистики, различным вариантам постановки задач при обработке статистических данных и правильной формулировке получающихся результатов обработки. Для закрепления теоретического материала каждый студент получает индивидуальное задание – набор статистических данных, которые он самостоятельно, с применением компьютерных технологий обрабатывает по мере накопления теоретического материала.

В результате изучения «Теория случайных процессов» студент знакомится с общим определением случайного процесса и с основными типами случайных процессов, которые могут встретиться специалисту в практической работе. Эта - третья часть общего курса имеет только теоретический характер

6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.

I. Образцы вариантов контрольных работ

Контрольная работа №1

ВАРИАНТ № образец

1. В урне шесть белых и четыре чёрных шара. Из урны вынимают наудачу пять шаров. Найти вероятность того, что два из них будут белыми, а три – чёрными.

2. В первой партии 45 годных и 5 бракованных деталей, во второй партии 50 годных и 10 бракованных деталей. Наудачу из каждой партии берут по одной детали. Найти вероятность того, что они обе бракованные.

3. Наугад выбираются по одной букве из слов «корова» и «кошка». Найти вероятность того, что эти буквы окажутся одинаковыми.

4. Брошено две монеты. Если выпали два «герба», то из урны №1 извлекается один шар, в противном случае шар извлекается из урны №2. Урна №1 содержит пять чёрных и два белых шара. Урна №2 содержит два чёрных и пять белых шаров. Какова вероятность того, что шар извлекался из урны №1, если он оказался чёрным?

ВАРИАНТ № образец

1. Игральная кость бросается два раза. Найти вероятность того, что во второй раз выпадет большее число очков, чем в первый раз.

2. В первой урне 10 белых и 15 чёрных шаров, во второй урне 12 белых и 20 чёрных шаров и в третьей 15 белых и 10 чёрных шаров. Из каждой урны наудачу извлекают по два шара. Найти вероятность того, что все вынутые шары одного цвета.

3. Пассажир забыл последнюю цифру шифра в автоматической камере хранения и набирает её наудачу. Определить вероятность того, что для открытия ячейки ему понадобится не более четырёх попыток.

4.В левом кармане пять монет по 50 коп. и три монеты по 10 коп., а в правом кармане четыре монеты по 50 коп. и шесть монет по 10 коп. Из правого кармана в левый наудачу перекладывается одна монета, после чего из левого кармана также наудачу извлекается одна монета, оказавшаяся пятидесятикопеечной. Какова вероятность того, что в левый карман была переложена десятикопеечная монета?

Контрольная работа №2

ВАРИАНТ № образец

1. Две игральных кости одновременно подбрасывают шесть раз. Постройте ряд распределения случайного числа появлений хотя бы одной шестёрки на верхних гранях брошенных костей. Чему равно математическое ожидание этого случайного числа?

2. При каком значении параметра а функция:

будет плотностью вероятности случайной величины x. Найти математическое ожидание Мx. Чему равна вероятность случайного события ?Сделать чертёж.

ВАРИАНТ № образец

1. Баскетболист бросает мяч в корзину до первого попадания, но ему разрешается сделать не более пяти попыток. Постройте ряд распределения случайного числа сделанных промахов. Чему равна вероятность того, что число сделанных промахов будет нечётным, если вероятность попадания при одном броске у этого баскетболиста равна ?

2. При каком значении параметра а функция:

будет плотностью вероятности случайной величины x. Найти функцию распределения F(x), математическое ожидание Мx. Чему равна вероятность случайного события ?Сделать чертёж.

Контрольная работа №3

ВАРИАНТ № образец

1. На окружности радиуса r наудачу ставится точка. Из этой точки параллельно горизонтальному и вертикальному диаметрам проводятся две хорды, которые берутся в качестве сторон прямоугольника. Две другие стороны прямоугольника, проводятся параллельно этим хордам. Определите математическое ожидание и дисперсию величины площади получающегося прямоугольника.

2. В первой урне находятся два белых и три чёрных шара. Во второй урне – три белых и два чёрных шара. Из первой урны во вторую наудачу перекладывается один шар, а затем из второй урны сразу извлекаются два шара. Для двумерной случайной величины – число переложенных и число извлечённых шаров белого цвета построить таблицу распределения. Найти частные распределения компонент.

3. С какой уверенностью можно ожидать, что при 900 подбрасываниях игральной кости значение относительной частоты выпадений нечётного числа очков отклонится от вероятности менее чем на 0,015?

ВАРИАНТ № образец

1. По сторонам прямого угла образованного координатными осями, концами скользит линейка длиною l. Все значения координаты её правого конца на оси абсцисс – равновозможные. Найдите математическое ожидание величины расстояния от линейки до начала координат.

2. В урне находятся один белый, два красных и три чёрных шара. Наудачу с возвращением каждый раз извлекаются два шара. Для случайных чисел появившихся шаров белого и красного цвета постройте таблицу распределения вероятностей.

3. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с уверенностью не меньшей чем 0,95 можно было утверждать, что число наступлений события будет не менее 80?

II. Индивидуальные задания по математической статистике

Методические указания

Для лучшего усвоения приёмов и методов математической статистики каждый студент получает индивидуальное задание.

Это задание представляет собой наборы статистических данных, полученных экспериментальным путём, и являются выборками значений двумерных случайных величин. В ходе выполнения работы студент должен выполнить следующие пять заданий, соответствующим пяти модулям теоретического курса.