Свойства случайных процессов

Измерения вероятностных характеристик случайных процес­сов (статистические измерения) составляют один из наиболее быстро развивающихся разделов измерительной техники. В на­стоящее время область распространения статистических методов исследования и обработки сигналов измерительной информации практически безгранична. Связь, навигация, управление, диагно­стика (техническая, медицинская), исследование среды и многие другие области немыслимы без знания и использования свойств сигналов и помех, описываемых их вероятностными характери­стиками.

Потребность в изучении свойств случайных процессов приве­ла к развитию соответствующих методов и средств (преимуще­ственно электрических). Появление анализаторов функций рас­пределения вероятностей, коррелометров, измерителей математи­ческого ожидания, дисперсиометров и других видов измерителей вероятностных характеристик открыло новые возможности в об­ласти создания современной информационной и управляющей техники.

Рассмотрим необходимые исходные определения и общие сведения о статистических измерениях.

В теории статистических измерений используют следующие понятия и их аналоги, заимствованные из теории случайных функций (аналоги из математической статистики): реализация случайного процесса (выборочная функция), мгновенное значе­ние (выборочное значение), совокупность мгновенных значений (выборка), вероятностная характеристика (предел выборочного среднего).

Введем следующие обозначения: Х (t) — случайный процесс;

i-порядковый номер реализации случайного процесса Х (t);

xi(tj) —мгновенное значение процесса Х (t), соответствующее значению (i-й реализации в j-й момент времени. Случайным назы­вают процесс Х (t), мгновенные значения которого xi (tj) суть случайные величины.

На рис.1 представлена в качестве примера совокупность реализации случайного процесса, воспроизводящих зависимости некоторого параметра Х от времени t.

В теории случайных процессових полное описание произво­дится с помощью систем вероятностных характеристик: многомерных функций распределения вероятности, моментных функ­ций, характеристических функций и т. п. В теории статистиче­ских измерений исследуемый случайный процесс представляется своими реализациями, причем полное представление осуществля­ется с помощью так называемого ансамбля, т. е. бесконечной совокупностью реализаций. Ансамбль — математическая аб­стракция, модель рассматриваемого процесса, но конкретные реализации, используемые в измерительном эксперименте, пред­ставляют собой физические объекты или явления и входят в ан­самбль как его неотъемлемая часть.

Если случайный процесс представлен ансамблем реализации xi (t), i=1, 2, ..., со, то вероятностная характеристика в может быть определена усреднением по совокупности, т.е.

N

q [X (t)]=lim 1/N Sg[xi(t)], (1)

N® ¥ i =1

где g [Xi (t)]— некоторое преобразование, лежащее в основе оп­ределения вероятностной характеристики q. Так, например, при определении дисперсии g[Xi (t)]= xi (t). При этом полагаем, что процесс характеризуется нулевым математическим ожиданием.

Вместо усреднения по совокупности может быть использовано усреднение по времени с использованием k-й реализации xk (t) и тогда

T

q [X(t)]= lim 1/T ò g[xi(t)]dt. (2)

T ® ¥ 0