Определение перемещений при изгибе балки

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Определение опытным путем величин прогибов и углов поворота сечений балки при ее изгибе и сравнение их с теоретическими значениями.

2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Изгиб – вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают изгибающие моменты.

Если изгибающий момент является единственным силовым фактором, изгиб называется чистым. Однако чаще всего в поперечных сечениях наряду с изгибающими моментами возникают также и поперечные силы. В этом случае изгиб называется поперечным.

Стержни, работающие в основном на изгиб, часто называют балками.

При изгибе балки согласно гипотезе плоских сечений (гипотезе Бернулли) поперечное сечение элемента балки (рис. 1), плоское и нормальное к его оси до приложения к элементу внешних сил, остается плоским и нормальным к оси и после приложения к элементу нагрузки. Поэтому образование деформаций при чистом изгибе может рассматриваться как результат поворота плоских поперечных сечений друг относительно друга.

l

l/2

z F

7

A C B

D L 8

y_z y_C К

Рис. 1. Определение прогибов балки

Для определения деформаций воспользуемся уравнением

(1)

Из курса математики известна связь кривизны плоской кривой с производными функциями этой кривой:

(2)

Приравняв правые части равенств (1) и (2), получим

(3)

Уравнение (3) представляет собой точное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки (упругой линии балки). Интегрирование этого нелинейного уравнения представляет большие трудности. Однако для большинства практических задач величиной

(4)

ввиду малости деформаций по сравнению с единицей можно пренебречь. Фактическое значение углов поворота сечений балки порядка тысячных долей радиана. Если даже принять , то и в этом случае величина ничтожно мала по сравнению с единицей.

Отбросив величину , получим приближенное дифференциальное уравнение упругой линии балки

(5)

интегрирование которого не представляет трудностей.

Выбор знака определяется принятой системой координат.

Для системы координат, показанной на рис. 2, а, момент М_x и кривизна y'' имеют одинаковые знаки и, следовательно, в уравнении (5) следует ставить знак плюс. Для системы координат, представленной на рис.2, б, момент М_x и кривизна y'' имеют противоположные знаки и, следовательно, в уравнении (5) должен быть знак минус.

Перед решением полученного дифференциального уравнения необходимо изгибающий момент М_x представить аналитической функцией от координаты z.

а) y y

M_x>0 y''<0

y''>0 M_x<0

z z

б) z z

M_x>0 y''>0

y''<0 M_x<0

y y

Рис. 2. Правило знаков при определении прогибов балки

Интегрируя уравнение (5) один раз, получим уравнение углов поворота поперечных сечений

(6)

Интегрируя второй раз, получим уравнение прогибов балки

(7)

Постоянные интегрирования С и D находятся из граничных условий, зависящих от вида опорных связей балки. Для балки (рис. 1) граничные условия имеют вид:

при , при (8)

Изгибающий момент в сечении z .

3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА

При исследовании изгиба двухопорной балки используют прибор СМ4А (рис. 3), описание которого дано в лабораторной работе 1.

7 5 6 4

А В

9

3 L 8

2

Рис. 3. Экспериментальная установка СМ4А

Опытное определение величины прогиба в точке D ( ) производится с помощью индикатора 7. Опытное определение угла поворота сечения в точке В производится с помощью индикатора 8, прикрепленного к неподвижной стойке 4.

4. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ

1. Согласно указанной преподавателем расчетной схеме подготовить установку для выполнения опыта.

2. С помощью штангенциркуля произвести измерения размеров поперечного сечения образца.

3. Нагрузить балку начальной нагрузкой F=20 H.

4. Установить стрелки индикатора 7 на "9,0", а индикатора 8 на нуль.

5. Давая одинаковые приращения нагрузки, произвести 3 нагружения исследуемого образца в упругой зоне.

6. После каждого приращения нагрузки на величину регистрировать показания индикаторов.

7. Определить приращения показаний индикаторов от нагрузки : и . Данные записать в таблицу.

№ п/п	F, H	Показатели индикаторов	Приращение показаний индикаторов
в т.D	в т. К
		9,00	0,00	-	-

8. Вычислить средние арифметические значения величин приращения прогибов, полученных в процессе опыта:

9. Вычислить среднее значение величины приращения углов поворота сечений, полученных в процессе опыта

где - среднее арифметическое значение величины отсчетов по индикатору 8; L=300 мм – длина стержня 9, измеренная от оси исследуемого образца до оси индикатора 8.

10. Произвести теоретический расчет величины прогиба y_D и угла поворота сечения по формулам (7) и (6) при нагрузке, равной , и заданных значениях z и l, с граничными условиями (8).

11. Определить расхождения между теоретическими значениями прогиба y_D и угла поворота сечения и опытными значениями и :

Допустимая величина расхождения не должна превышать .

5. СОСТАВЛЕНИЕ ОТЧЕТА

Отчет о проделанной работе должен содержать: цель работы, схему установки с указанием сечений, в которых определяются прогиб и поворот сечений, и ее описание; таблицу нагружений и показаний индикаторов, обработку опытных данных, теоретическое определение прогибов и углов поворота сечений балки, сравнение результатов.

6. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что понимается под упругой линией балки?

2. Как перемещаются поперечные сечения балок при изгибе?

3. Во сколько раз изменится прогиб балки, если нагрузку уменьшить в два раза?

4. Как изменится максимальный прогиб консольной балки, если длина вылета уменьшится в два раза?

5. С какой точностью можно измерить величину прогиба при помощи индикатора?

Лабораторная работа 4