Операции над нечеткими числами

Целый раздел теории нечетких множеств – мягкие вычисления (нечеткая арифметика) - вводит набор операций над нечеткими числами. Эти операции вводятся через операции над функциями принадлежности на основе так называемого сегментного принципа.

Определим уровень принадлежности a как ординату функции принадлежности нечеткого числа. Тогда пересечение функции принадлежности с нечетким числом дает пару значений, которые принято называть границами интервала достоверности.

Зададимся фиксированным уровнем принадлежности a и определим соответствующие ему интервалы достоверности по двум нечетким числам и : [a₁, a₂] и [b₁, b₂], соответственно. Тогда основные операции с нечеткими числами сводятся к операциям с их интервалами достоверности. А операции с интервалами, в свою очередь, выражаются через операции с действительными числами - границами интервалов:

· операция "сложения":

[a₁, a₂] (+) [b₁, b₂] = [a₁ + b₁, a₂ + b₂], (2.6)

· операция "вычитания":

[a₁, a₂] (-) [b₁, b₂] = [a₁ - b₂, a₂ - b₁], (2.7)

· операция "умножения":

[a₁, a₂] (´) [b₁, b₂] = [a₁ ´ b₁, a₂ ´ b₂], (2.8)

· операция "деления":

[a₁, a₂] (/) [b₁, b₂] = [a₁ / b₂, a₂ / b₁], (2.9)

· операция "возведения в степень":

[a₁, a₂] (^) i = [a₁ⁱ , a₂ⁱ]. (2.10)

Из существа операций с трапезоидными числами можно сделать ряд важных утверждений (без доказательства):

· действительное число есть частный случай треугольного нечеткого числа;

· сумма треугольных чисел есть треугольное число;

· треугольное (трапезоидное) число, умноженное на действительное число, есть треугольное (трапезоидное) число;

· сумма трапезоидных чисел есть трапезоидное число;

· сумма треугольного и трапезоидного чисел есть трапезоидное число.

Анализируя свойства нелинейных операций с нечеткими числами (например, деления), исследователи приходят к выводу, что форма функций принадлежности результирующих нечетких чисел часто близка к треугольной. Это прозволяет аппроксимировать результат, приводя его к треугольному виду. И, если приводимость налицо, тогда операции с треугольными числами сводятся к операциям с абсциссами вершин их функций принадлежности.

То есть, если мы вводим описание треугольного числа набором абсцисс вершин (a, b, c), то можно записать:

(a₁, b₁, c₁) + (a₂, b₂, c₂) º (a₁ + a₂, b₁ + b₂, c₁ + c₂) (2.11)

Это – самое распространенное правило мягких вычислений.

1. Термины и определения дисциплины «Основы инженерного творчества»

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ИЗОБРЕТАТЕЛЬСКИХ ЗАДАЧ (АРИЗ) — последовательность выполнения мыс­лительных операций, основанная на объектив­ных закономерностях развития технических си­стем и предназначенная для анализа технической проблемы и поиска наиболее эффективного ее решения.

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМНЫХ СИТУАЦИЙ (АРПС) — модификация АРИЗ, основанная на объективных закономерностях развития искусст­венных систем и предназначенная для анализа проблемной ситуации и поиска наиболее эффек­тивного ее решения.

СИТУАЦИЯ — результат взаимодействия двух или более элементов системы.

ПРОБЛЕМНАЯ СИТУАЦИЯ — возникновение проти­воречия, не удовлетворяющее потребителя систе­мы, как результат взаимодействия двух или более элементов системы.

ПРОТИВОРЕЧИЕ — свойство связи между двумя па­раметрами системы, при котором изменение од­ного из этих параметров в нужном для потребите­ля направлении вызывает недопустимое для по­требителя изменение второго параметра.

АДМИНИСТРАТИВНОЕ ПРОТИВОРЕЧИЕ – ситуация в системе, когда известно, что нужно изменить в системе, но неизвестно как.

ТЕХНИЧЕСКОЕ ПРОТИВОРЕЧИЕ – ситуация в системе, когда попытка улучшить один её параметр приводит к ухудшению другого параметра.

ФИЗИЧЕСКОЕ ПРОТИВОРЕЧИЕ – ситуация в системе, когда к параметру предъявляются противоположные требования типа «должен быть…» и «не должен быть».

СИСТЕМА — совокупность элементов, предназначен­ная для выполнения определенной функции и об­разующая при своем объединении новое свойство, которым не обладают отдельно взятые элементы.

ВЕПОЛЬ – модель взаимодействия между инструментом и изделием с использованием энергии различных видов.