Простейшие операции над нечеткими множествами

Включение: пусть Е – множество, М – множество принадлежностей, Аи В – два нечетких подмножества множества Е. Будем говорить, что Асодержится в В, если m_B(x) ³ m_A(x), и обозначать эту операцию АÌÌ В.

Пример 1.6. Пусть Е = {x₁, x₂, x₃, x₄}, 0 ≤ M ≤ 1,

А= {(x₁|0,4), (x₂|0,2), (x₃|0), (x₄|1)},

B= {(x₁|0,3), (x₂|0), (x₃|0), (x₄|0)}.

В соответствии с определением ВÌÌ А.

Равенство: пусть Е – множество, М – множество принадлежностей, Аи В – два нечетких подмножества множества Е. Будем говорить, что Аи В равны тогда и только тогда, когда m_B(x) = m_A(x).

Пример 1.7. Пусть Е = {x₁, x₂, x₃, x₄}, 0 ≤ M ≤ 1,

А= {(x₁|0,4), (x₂|0,2), (x₃|0), (x₄|1)},

B= {(x₁|0,4), (x₂|0,2), (x₃|0), (x₄|1)}.

В соответствии с определением В= А.

Дополнение: пусть Е – множество, М – множество принадлежно­стей, Аи В – два нечетких подмножества множества Е. Скажем, что Аи В дополняют друг друга, если m_B(x) = 1 – m_A(x).

Пример 1.8. Пусть Е = {x₁, x₂, x₃, x₄}, 0 ≤ M ≤ 1,

А= {(x₁|0,4), (x₂|0,2), (x₃|0), (x₄|1)},

B= {(x₁|0,6), (x₂|0,8), (x₃|1), (x₄|0)}.

В соответствии с определением В= или А= .

Пересечение: пусть Е – множество, М – множество принадлежно­стей, Аи В – два нечетких подмножества множества Е. Пересечение АÇ В определяют как наибольшее нечеткое подмножество, содержащееся одно­временно в Аи В:

m_АÇВ(x) = min(m_A(x), (m_В(x)). (1.35)

Пример 1.9. Пусть Е = {x₁, x₂, x₃, x₄, x₅}, 0 ≤ M ≤ 1,

А= {(x₁|0,2), (x₂|0,7), (x₃|1), (x₄|0) ), (x₅|0,5)},

B= {(x₁|0,5), (x₂|0,3), (x₃|1), (x₄|0,1), (x₅|0,5)}.

Тогда А Ç В = {(x₁|0,2), (x₂|0,3), (x₃|1), (x₄|0), (x₅|0,5)}.

На основе (1.35) можно записать А и В => => АÇ В. Это позволяет ввести понятие «нечеткое и» – И.

Пример 1.10. Если А – нечеткое подмножество действительных чи­сел, очень близких к 5, и В – нечеткое подмножество действительных чи­сел, очень близких к 10,

А= {(9|0,2), (6|0,8), (5|1), (10|0,1) ), (7,5|0,5)},

B= {(9|0,8), (6|0,2), (5|0,1), (10|1), (7,5|0,5)},

то А Ç В – нечеткое подмножество действительных числе, очень близких к 5 И 10.

Тогда А Ç В = {(9|0,2), (6|0,2), (5|0,1), (10|0,1), (7,5|0,5)}.

Эту операцию можно проиллюстрировать на рис. 1.3, где АÇ В–заштрихованная взаимопересекающаяся часть двух окружностей вокруг точек 5 и 10.

Рис. 1.3. Графическая иллюстрация

операции пересечения двух нечетких множеств

Объединение: пусть Е – множество, М – множество принадлежно­стей, А и В – два нечетких подмножества множества Е. Объединение А È В определяют как наименьшее нечеткое подмножество, которое содержит как А, так и В:

m_{А ÈВ}(x) = max(m_A(x), (m_В(x)). (1.36)

Пример 1.11. Пусть Е = {x₁, x₂, x₃, x₄, x₅}, 0 ≤ M ≤ 1,

А= {(x₁|0,2), (x₂|0,7), (x₃|1), (x₄|0), (x₅|0,5)},

B= {(x₁|0,5), (x₂|0,3), (x₃|1), (x₄|0,1), (x₅|0,5)},

тогда АÈВ= {(x₁|0,5), (x₂|0,7), (x₃|1), (x₄|0,1), (x₅|0,5)}.

На основе (1.36) можно записать А или В => АÈ В. Это позволяет ввести понятие «нечеткое или» – ИЛИ.

Пример 1.12.Если А – нечеткое подмножество действительных чи­сел, очень близких к 5, В – нечеткое подмножество действительных чисел, очень близких к 10,

А= {(9|0,2), (6|0,8), (5|1), (10|0,1) ), (7,5|0,5)},

B= {(9|0,8), (6|0,2), (5|0,1), (10|1), (7,5|0,5)},

то А È В – нечеткое подмножество действительных числе, очень близких к 5 ИЛИ 10. Тогда АÇ В = {(9|0,8), (6|0,8), (5|1), (10|1), (7,5|0,5)}.