Скорости и ускорения точек тела при его вращении вокруг неподвижной точки.

V_A=ω×r_A. Пусть точка М лежит на мгновенной оси вращения.

i j k

V_M=ω×r_M= ω_x ω_y ω_z

X_M Y_M Z_M

X/ω_x=Y/ω_y=Z/ω_z – мгновенная ось вращения.

a_A=dv/dt=dω/dt×r_A+ω×dr_A/dt=ε×r_A+ω×v_A=a_A^вр+a_A^ос.

a_A^вр=ε×r_A – вращательное ускорение точки.

a_A^ос=ω×v_A – осестремительное ускорение точки.

Формула Ривальса: a_A^oc=ωv_Asin(ω, v_A). a_вр направлен перпендикулярно плоскости (ε,r) в сторону, откуда переход от ε к r виден против часовой стрелки.

a_вр направлен по перпендикуляру к плоскости (ω,v).

Аналитические выражения для моментов силы относительно осей координат.

i j k

M_O(F)= x_A y_A z_A =>

F_x F_y F_z

_ð M_Ox(F)=yF_z-zF_y

ð M_Oy(F)=zF_x-xF_z

M_Oz(F)=xF_y-yF_x

Билет №17.

1. Свободное движение твердого тела. Скорости и ускорения его точек.
2. Связь векторного момента силы относительно точки с моментом силы относительно оси, проходящей через эту точку.

Скорости и ускорения точек тела при его свободном движении.

Разложение общего вида движения на поступательное, связанное с точкой О и вращательное относительно О.

Поступательное:

X_1o=f₁(t); Y_1o=f₂(t); Z_1o=f₃(t).

Вращательное:

Ψ=f₄(t); φ=f₅(t); θ=f₆(t).

Таким образом, число степеней свободы при свободном движении твердого тела равно 6.

ρ_A=ρ_о+rÞv_A=dρ/dt+dr/dt=v_o+ω×r.

a_A=dv_A/dt=dv_o/dt+dω/dt×r+ω×dr/dt=a_o+ε×r+ω²r=a_o+a_A^вр+a_A^ос.

Связь между моментом относительно оси и относительно точки.

Момент силы F относительно оси z равен проекции на эту ось вектора момента силы Fотносительно произвольной точки О на этой оси.

Доказательство:

Пусть О – произвольная точка на оси z. Момент силы F относительно точки О перпендикулярен плоскости ОАВ

M_O(F)┴(OAB). Пусть угол междуM_O(F) и осью z равен α. Тогда Пр_zM_O(F)=2S_{ΔO’A’B’}= 2S_ΔOAB∙cosα => M_z(F) = |M_O(F)|cosα.

Ч.т.д.

Билет №18.

1. Сложное движение точки. Основные понятия и определения. Примеры.
2. Центр системы параллельных сил. Формулы для радиуса-вектора и координат центра системы параллельных сил.

Сложное движение точки. Основные понятия.

Сложное движение – движение по отношению к системе координат, выбранной за основную (абсолютную).

Относительное движение – движение точки по отношению к подвижной системе координат.

Переносное движение – движение подвижной системы координат относительно неподвижной. Установление связи между этими движениями позволяет решать различные задачи.

Центр системы параллельных сил. Формула для радиус-вектора и координат центра системы параллельных сил.

Дано : F₁ || F₂ .

R=F₁+F₂. M_C(R)=M_C(F₁)+M_C(F₂)=0Þ

ÞF₁∙CA₁=F₂∙CA₂. Повернем F₁ и F₂ на угол α, при этом R повернется тоже на угол α. С – центр параллельных сил.

То же самое, если сил несколько и не по одной прямой. R=∑F_i, R||F_i (точка С принадлежит R) M_O(R)=∑M_O(F_i), r_C×R=∑(r_i×F_i).

Введем единичный вектор eÞ F_k=F_k∙eÞ R=∑F_k∙e.

r_C×∑F_i∙e=∑r_i×(F_i∙e). ∑F_ir_C×e=∑F_ir_i×e.

(∑F_ir_C-∑F_ir_i)×e=0

r_C=∑F_ir_i/∑F_i.

Координаты центра системы параллельных сил:

X_C=∑F_ix_i/R; Y_C=∑F_iy_i/R;

Z_C=∑F_iz_i/r

Билет №19.

1. Сложное движение точки. Теорема о сложении скоростей. Примеры.
2. Центр тяжести тела. Методы нахождения центра тяжести.

Сложное движение точки. Основные понятия.

Сложное движение – движение по отношению к системе координат, выбранной за основную (абсолютную).

Относительное движение – движение точки по отношению к подвижной системе координат.

Переносное движение – движение подвижной системы координат относительно неподвижной. Установление связи между этими движениями позволяет решать различные задачи.

Центр тяжести тела. Методы нахождения центра тяжести.

Центр тяжести – центр системы параллельных сил тяжести частиц тела. Его радиус-вектор r_C=∑P_ir_i/P.

X_C=∑P_ix_i/P; Y_c=∑P_iy_i/P; Z_C=∑P_iz_i/P

Вес тела P=∑P_i, P_i – сила тяжести частицы.

Методы определения координат центра тяжести тела.

1) Свойства симметрии: если тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то центр тяжести лежит на них.

2) Разбиение: Если известны центры тяжести отдельных частей тела, то

r_C=(V₁r_C1+V₂r_C2+…+V_nr_Cn)/V

Отрицательные массы:

r_C=V_сплr_C-V₁r_C1-…-V_nr_Cn, где V_k, r_Ck – объемы и радиус-векторы пустот тела.

3) Интегрирование: если тело нельзя разбить)

X_C=(∫xdV)/V, Y_C=(∫ydV)/V,

Z_C=(∫zdV)/V

Билет №20.

1. Сложное движение точки. Теорема о сложении ускорений – теорема Кориолиса. Ускорение Кориолиса.
2. Лемма о параллельном переносе силы.

Сложное движение точки. Основные понятия.

Сложное движение – движение по отношению к системе координат, выбранной за основную (абсолютную).

Относительное движение – движение точки по отношению к подвижной системе координат.

Переносное движение – движение подвижной системы координат относительно неподвижной. Установление связи между этими движениями позволяет решать различные задачи.

Опр-е ускорения точки в сложном движении

V_M=V_O+[ ωr]+ V_r

W_M=d V_M/dt=(d V_O/dt)+[ εr]+[ ω(dr/dt)]+d V_r/dt

dr/dt=[ ωr]+ V_r

W_M=W_o+[ εr]+ [ω[ωr]]+[ ω V_r]+ [ ωV_r]+W_r

d V_r/dt=[ ω V_r]+ W_r

W_k=2[ω V_r]

W_M=W_L+W_r+W_K – кинематическая теорема Кариолиса

Абсолютное ускорение точки –это есть сумма переносного ускорения, относительного ускорения и ускорения Кариолиса

Переносное ускорение хар-ет измен-е переносной скорости в переносном движении.

Относительное ускорение хар-ет изм-е относительной скоростив в относительном движении. Ускорение Кариолиса хар-ет изм-е относительной скорости в переносном движении

Ускорение Кариолиса.

Согласно правилу векторного произведения, вектор ускорения Кариолиса ┴ пл-ти, в кот-й лежат вектора ω и V_r и направлена в ту сторону,что с конца этого вектора кратчайшее совмещение первого вектора ко второму ω к V_r кажется видным против хода часовой стрелки.