Скорость точки в сложном движении

Согласно теореме о скоростях точки в сложном движении, абсолютная скорость точки M (из данного примера) определяется как геометрическая сумма скоростей переносного и относительного движений

ν_a = ν_e + ν_r (1)

Рис. 2

Смысл и значение теоремы о скоростях заключается в том, что относительную и переносную скорости можно определять независимо друг от друга. Абсолютная скорость определяется как геометрическая сумма относительной и переносной скоростей (рис. 2).

Относительное движение точки M происходит вдоль радиуса в соответствии с уравнением OM = s(t). Следовательно, относительная скорость точки M будет равна производной от OM по времени ν_r = dOM / dt.

Поскольку относительное движение происходит по прямой, относительная скорость направлена вдоль этой прямой.

Переносная скорость точки M определится выражением

ν_e = ω × OM, т.к. ω ⊥ ν_e

и направлена перпендикулярно OM в сторону вращениядиска.

Угол между ν_e и ν_r равен, в данном случае, 90° и модуль абсолютного ускорения определится формулой

Ускорение точки в сложном движении.
Ускорение Кориолиса

Согласно теореме Кориолиса, абсолютное ускорение точки в сложном движении определяется как геометрическая сумма относительного, переносного и кориолисова ускорений (рис. 3)

a_a = a_r + a_e + a_C

Рис. 3

Поскольку, в данном случае, относительное движение происходит по прямой линии, относительное ускорение a_r направлено вдоль этой прямой и определяется выражением

Переносным ускорением точки M является ускорение точки M диска. Диск совершает вращательное движение, следовательно, переносное ускорение определяется выражением

a_e = a_e^вр + a_e^цс

где a_e^вр= ε ⋅ OM - вращательное ускорение точки M, направленное перпендикулярно отрезку OM;
a_e^цс= ω²⋅ OM - центростремительное ускорение точки M, направленное к центру диска.

Ускорение Кориолиса или поворотное ускорение определяется по формуле

a_C = 2 ω_e × ν_r

где ω_e - переносная угловая скорость,
ν_r - относительная скорость точки.

Направление ускорения Кориолиса определяется по правилу векторного произведения или по правилу Жуковского.

Величина ускорения Кориолиса определяется выражением

a_C = 2 ω_e ν_r sinα

где α – угол между векторами ω_e и ν_r.

Рассмотрим, какой физический смысл заложен в ускорение Кориолиса. Для простоты будем считать, что диск вращается с постоянной угловой скоростью, а точка M движется относительно диска с постоянной относительной скоростью (рис.4).

Рис. 4

Пусть в момент времени t₁ точка M занимала положение M₁ и имела относительную скорость ν_r1. За промежуток времени Δt точка M переместится в положение M₂, при этом направление скорости ν_r изменится вследствие вращения диска. Вектор ν_r получит приращение Δν_r. Отношение Δν_r/Δt определяет среднее ускорение точки за промежуток времени Δt. Предел отношения Δν_r / Δtпри Δt→ 0 есть производная dν_r /dt, как производная от вектора постоянного по величине.

Рассмотрим, как изменяется переносная скорость в зависимости от относительного движения. В моменты времени t₁ и t₂ переносная скорость определяется выражениями ν_e1= ω × OM₁ и ν_e2= ω × OM₂. Тогда приращение вектора ν_e за счет относительного движения будет равно

Δν_e = ω × OM₂ - ω × OM₁ =
= ω ×(OM₂ - OM₁) = ω × ν_r⋅ Δt

Отношение Δν_e/ Δt в пределе при Δt→ 0 дает производную dν_e / dt = ω × ν_r.

Таким образом, ускорение Кориолиса с одной стороны характеризует изменение относительной скорости по направлению за счет переносного вращения и, с другой стороны, изменение величины переносной скорости за счет относительного движения.

Рис. 5

Абсолютное ускорение точки в сложном движении в общем случае определяется геометрической суммой пяти слагаемых

Для определения величины абсолютного ускорения удобнее пользоваться аналитическим методом сложения векторов: