Точечная оценка математического ожидания

Задана случайная величина Х: х₁, х₂, …, х_n, так как М(Х) не найти, то для математического ожидания случайной величины Х естественно предложить среднее арифметическое

(1.3)

её наблюденных значений.

1. По методу произведений

, ,

так как

.

Это и означает, что оценка несмещенная.

2. Если исследуемая случайная величина Х имеет конечную дисперсию, то эта оценка будет состоятельной, так как

.

Если исследуемая величина имеет нормальный закон распределения, то можно показать, что предложенная оценка эффективна, т. е. оценки для математического ожидания с меньшей дисперсией не существует для нормально распределенных величин.

Точечная оценка математического ожидания
Пусть выборка из генеральной совокупности, соответствующей случайной величине x с неизвестным математическим ожиданием Mx =q и известной дисперсией .
Рассмотрим оценку неизвестного математического ожидания

.

Оценка несмещённая, поскольку её математическое ожидание равно Mx =q :

,
Оценка состоятельная, поскольку при n®¥, :

.

Итак, для оценки неизвестного математического ожидания случайной величины будем использовать выборочное среднее: .

Точечная оценка для дисперсии

Так как дисперсия определяется через математическое ожидание, а для математического ожидания оценка уже выбрана, то для дисперсии естественно предложить оценку:

или ; (1.4)

, (1.5)

что соответствует записи дисперсии в виде .

Оказывается, что предложенная оценка дисперсии (1.4) состоятельна (легко доказать) и (1.5) не является несмещенной. Чтобы в этом убедиться, возведём в квадрат последнее слагаемое в (1.4)

Процентрируем величину Х, т. е. перенесем начало координат в точку М(Х): . Дисперсия зависит лишь от разности значений Х и математического ожидания, поэтому от переноса начала координат оценка не изменится и равенство можно продолжить:

.

Вычислим теперь математическое ожидание полученной величины

,

т. е. , так как .

Значит, предложенная оценка занижает истинное значение дисперсии.

Для получения несмещенной оценки введем поправку и полученную оценку обозначим через S²

или

. (1.6)

Оценка S² (1.6) является состоятельной, так как сходится по вероятности к М(Х²), а – к М(Х).

Замечание. При малых n дробь довольно значительно отличается от единицы, а с увеличением n стремится к единице. При n > 50 практически нет разницы между оценками и S². Оценки и S² являются состоятельными оценками дисперсии.

Для дисперсии случайной величины можно предложить следующую оценку:

, где — выборочное среднее.

Доказано, что эта оценка состоятельная, но смещенная.
В качестве состоятельной несмещенной оценки дисперсии используют величину

.

Именно несмещенностью оценки объясняется ее более частое использование в качестве оценки дисперсии.