Плоскости орбиты в атмосфере

5.2.1. Схема манёвра.Возможность поворота плоскости орбиты в атмосфере является отличительной особенностью аэрокосмических аппаратов, характеризующей их способность совершать сложные манёвры в атмосфере и околоземном космическом пространстве.

Рассматривается решение задач оптимального трёхканального управления траекториями воздушно-космического самолета, находящегося на низкой околоземной орбите и совершающего манёвр поворота плоскости орбиты с использованием аэродинамических сил и силы тяги двигательной установки. Траектория манёвра включает в себя атмосферный участок, на котором под действием аэродинамических сил происходит поворот плоскости орбиты. Управление осуществляется изменением углов атаки, крена и секундного расхода топлива, от которого зависит тяга двигателя.

Известны результаты рассмотрения трёхимпульсных манёвров поворота плоскости орбиты с атмосферным участком. Допущение об импульсной структуре манёвра позволила применить принцип максимума в качестве теоретической основы формирования двухканального (по углам атаки и крена) оптимального управления. Получены оптимальные траектории, состоящие из участков движения по границам и внутри области ограничений в соответствии с принципом максимума. Оптимизации трёхканального управления на основе последовательной линеаризации позволяет сформировать оптимальные траектории с протяжёнными активными участками.

Как известно, среди возможных видов орбитальных манёвров космических аппаратов наиболее энергоёмким является манёвр поворота плоскости орбиты, требующий даже при небольших значениях угла поворота весьма значительных затрат характеристической скорости. Манёвр поворота плоскости орбиты может быть реализован или только с помощью силы тяги двигателей (ракетодинамический манёвр), или с использованием как тяги двигателей, так и аэродинамических сил при погружении в плотные слои атмосферы (аэродинамический манёвр).

Ракетодинамический маневр при большой тяговооружённости может быть одноимпульсным (с поворотом плоскости в одной точке исходной орбиты без изменения ее формы) и трёхимпульсным (с поворотом плоскости в апогее промежуточной орбиты). Трёхимпульсная схема при больших углах поворота плоскости орбиты уменьшает суммарные затраты характеристической скорости, однако, значительно увеличивает время манёвра по сравнению с одноимпульсной.

Применение при повороте плоскости орбиты двигателей малой тяги уменьшает относительные затраты топлива на совершение манёвра, однако, в этом случае время манёвра возрастает до очень больших величин, неприемлемых для пилотируемых полётов и манёвров с ограничением на время их осуществления.

Для аэрокосмических аппаратов с маршевой двигательной установкой большой тяги, достаточными запасами топлива и максимальным располагаемым аэродинамическим качеством на гиперзвуковых скоростях полёта в атмосфере более 2...3, находящихся на низких околоземных орбитах, при углах поворота плоскости орбиты больше 5⁰...10⁰, более выгодным с точки зрения суммарных затрат характеристической скорости является аэродинамический манёвр поворота плоскости орбиты. К достоинствам этого манёвра, кроме экономии топлива, относятся его небольшая продолжительность, широкий диапазон изменения углов поворота плоскости орбиты и её формы, возможность изучения с борта аппарата атмосферных явлений на труднодоступных для других средств высотах, а также возможность оперативного обзора земной поверхности с относительно небольших высот и быстрой доставки информации как на борту аэрокосмического аппарата, так и путём передачи.

Траектория движения аэрокосмического аппарата при изменении плоскости орбиты в атмосфере условно разделяется на три участка (рис. 5.17): участок движения в плотных слоях атмосферы (в дальнейшем называемый атмосферным, обозначен цифрой 2), где происходит собственно изменение плоскости орбиты, и два участка движения в разрежённых слоях (называемые в дальнейшем внеатмосферными, обозначены цифрами 1 и 3). Границей участков траектории может служить условная граница атмосферы, принимаемая в рассматриваемых задачах на высоте 100 км.

Схема манёвра предусматривает как минимум трёхкратное включение двигателей. После первого импульса скорости , сообщаемого аэрокосмическому аппарату на начальной орбите, аппарат переводится на траекторию снижения и входит в атмосферу с заданным углом наклона траектории. Второй импульс скорости дается на атмосферном участке движения и переводит аппарат на переходную эллиптическую орбиту, апогей которой обычно совпадает с высотой конечной круговой орбиты. Третий импульс дается в апогее переходной эллиптической орбиты и увеличивает скорость аэрокосмического аппарата до требуемой орбитальной скорости.

В соответствии с рассмотренной схемой управление движением аэрокосмического аппарата при реализации аэродинамического манёвра поворота плоскости орбиты может эффективно осуществляться по трём каналам: по каналу угла атаки и по каналу скоростного угла крена (на атмосферном участке траектории), а также по каналу секундного расхода топлива двигателей , определяющему величину тяги и максимальную возможную продолжительность работы двигательной установки (на всех участках траектории).

При построении номинального управления движением аэрокосмического аппарата в соответствии с приведённой схемой манёвра необходимо учитывать ограничения на управляющие зависимости, терминальные условия и режимы движения. Ограничения на управление связаны с технической возможностью обеспечения требуемых значений углов атаки и крена, а также с характеристиками конкретной двигательной установки аэрокосмического аппарата, имеющей ограничение на величину тяги, которая может быть как регулируемой, так и нерегулируемой. Ограничения на режимы движения связаны с конструкцией аэрокосмического аппарата, рассчитанной на определённые значения перегрузки, скоростного напора и температуры поверхности. Ограничения на терминальные условия обеспечивают достижение основной цели выполнения манёвра: выведение аэрокосмического аппарата на конечную орбиту с требуемыми значениями её параметров.

Для рассмотренных задач общими являлись следующие условия. Считалось, что исходной орбитой является экваториальная, с наклонением = 0. Внеатмосферный участок траектории 1 (рис.6.1) не рассматривался. В начальный момент времени = 0 задавались значения фазовых координат аппарата, соответствующие моменту входа в атмосферу: начальная высота над поверхностью Земли =100 км, начальная скорость относительно Земли =7730 м/с, начальный угол наклона траектории = -2⁰ и начальный угол пути =0. Начальное значение геоцентрической широты, в соответствии с формулировкой модельной задачи принималось равным =0, а начальное значение географической долготы не фиксировалось.

В рассмотренных задачах требовалось найти программы изменения угла атаки , скоростного угла крена и секундного расхода топлива , обеспечивающие в конечный нефиксированный момент времени выполнение заданных конечных условий движения без ограничений и при наличии ограничений на управление и режимы движения и оптимизирующие выбранный показатель качества управления.

Оптимальное номинальное управление рассчитывалось при следующих условиях. Узловые точки аппроксимации, в которых определялись значения управляющих зависимостей, функционалы задачи, их производные по управлению и вычислялись малые приращения управляющих зависимостей, располагались при оптимизации двухканального управления равномерно по характеристической скорости с шагом 30 м/с, а при оптимизации трёхканального управления – с помощью метода плавающих узлов. Во всех задачах число узлов аппроксимации не превышало 100.

Решение задач завершалось при уменьшении приращений оптимизируемого функционала до некоторого малого значения. С целью подтверждения неулучшаемости полученного оптимального управления решение задачи в некоторых случаях повторялось с другим начальным приближением опорного управления.

Конечная орбита отличалась от исходной только величиной наклонения. Вместо изменения наклонения орбиты рассматривалось изменение угла пути. Возможность такой замены связана с тем, что наклонение мгновенной плоскости движения к экватору связано с текущим значением широты и угла пути соотношением

,

из которого следует, что, если , то .

Во всех задачах требуемое конечное значение угла пути равнялось 5⁰. Допустимое отклонение конечного значения угла пути от требуемого значения принималось равным 0,1⁰. Расчёт отклонений параметров в момент времени проводился по формуле

,

где - требуемое значение параметра.

Параметры атмосферы соответствовали стандартным значениям. Аэродинамические характеристики аппарата (коэффициенты аэродинамической подъёмной силы и силы лобового сопротивления) задавались таблично. Максимальное значение аэродинамического качества аэрокосмического аппарата на гиперзвуковых скоростях полёта в атмосфере равнялось 2. Радиус кривизны поверхности аппарата в критической точке принимался равным 1 м, а допустимое значение удельного теплового потока равнялось 1700 кДж/(м²с).

Угол атаки мог принимать значения от =10⁰ до =50⁰, максимальная тяговооружённость составляла 0,3 при максимальном значении относительного секундного расхода топлива =0,001 1/c, где , – начальная масса аппарата. В качестве начального приближения опорных программ управления во всех задачах принимались следующие постоянные величины: =30⁰, =45⁰, =0, то есть в качестве опорного движения рассматривалось пассивное.

Размеры допустимых окрестностей управляющих зависимостей уменьшались по мере приближения к оптимальным программам и составляли по углу атаки от 0,5⁰ на первых итерациях до 0,01⁰ на последних, по углу крена от 1⁰ до 0,1⁰, а по относительному секундному расходу топлива от 2*10^-5 1/c до 10^-6 1/c. Количество выполненных итераций в зависимости от сложности задачи составляло от 100 до 200.

При решении задач использовались методы конечномерной аппроксимации, способы учёта ограничений на управление, максимальные значения контролируемых параметров, а также приёмы повышения эффективности процесса поиска и процедура его окончания, приведённые в главах 2 и 3.

5.2.2. Номинальное двухканальное управление.Оптимизация двухканального (по углам атаки и крена) управления проводилась только для атмосферного участка поворота плоскости орбиты (участок 2, рис. 5.17). Это связано с несколькими причинами. Во-первых, эффективное управление по каналам угла атаки и крена может быть осуществлено при наличии достаточного скоростного напора, то есть для рассматриваемой схемы манёвра только на атмосферном участке траектории. Во-вторых, данный участок является основным в данной схеме манёвра, обеспечивающим собственно поворот плоскости орбиты при изменении угла пути, на котором должны быть выполнены все основные ограничения на режимы движения. В-третьих, подобная постановка задачи при других параметрах аппарата и условиях входа в атмосферу позволила получить решения с помощью принципа максимума при допущении об импульсном характере приложения тяги.

В качестве критерия оптимальности в задачах формирования двухканального управления принималось конечное значение скорости . Максимизация этого показателя качества управления соответствует минимизации потерь на сопротивление движению со стороны атмосферы при условии выполнения требуемых конечных значений угла поворота плоскости орбиты и ограничений на управляющие зависимости и режимы движения.

Момент времени фиксировался после отражения аппарата от плотных слоёв атмосферы при выполнении условия достижения условной границы атмосферы: = =100 км. Допустимое отклонение конечной высоты от требуемого значения равнялось =0,1 км. Если это условие оказывалось невыполнимым из-за больших потерь механической энергии аэрокосмического аппарата при движении в относительно плотных слоях атмосферы, то момент времени фиксировался при равенстве нулю угла наклона траектории: = =0. Допустимое отклонение принималось равным =0,01⁰. Таким образом, выполнение одного из двух этих условий использовалось для окончания интегрирования траектории, причём выполнение другого условия при этом не контролировалось и оно не участвовало как функционал в решении задачи на текущей итерации улучшения управления методом последовательной линеаризации.

Расчёт затрат топлива, необходимых для перевода аэрокосмического аппарата на требуемую конечную орбиту, производился по аналитическим соотношениям в предположении импульсного характера приложения тяги. Эти данные были необходимы для сравнения затрат топлива на совершение манёвра при допущении об импульсном характере приложения тяги с затратами топлива при решении задач формирования трёхканального управления без упрощающих допущений, с протяжёнными активными участками.

Задача. Найти программы управления углами атаки и крена аэрокосмического аппарата, максимизирующие конечную скорость при наличии ограничений на угол атаки и на отклонение конечного значения угла пути от требуемого значения, то есть найти

при наличии ограничений на управление

и ограничений на терминальные условия

, ,

где , ,

.

На рис. 5.18 показаны полученное оптимальное управление , удовлетворяющее условиям задачи, а также соответствующая ему зависимость высоты от времени.

На рис. 5.19 приведены зависимости высоты , скорости , угла пути и удельного теплового потока в критической точке аппарата от времени.

При выполнении манёвра аэрокосмический аппарат потерял около 10% начальной скорости: конечное значение скорости на высоте 100 км составило 7,08 км/с. Затраты топлива, необходимые для завершения манёвра и выведения аэрокосмического аппарата на конечную орбиту спутника Земли с требуемыми значениями параметров, составили 26% от начальной массы аппарата.

Задача. Найти программы управления углами атаки и крена аэрокосмического аппарата, максимизирующие конечную скорость при наличии ограничений на угол атаки, на отклонение конечного значения угла пути от требуемого значения и максимальный удельный тепловой поток в критической точке аппарата, то есть найти

при наличии ограничений на управление

ограничений на удельный тепловой поток

,

и терминальные условия

, , .

Основные результаты решения приведены на рис. 5.20 и 5.21, описание которых соответствует описанию рис. 5.18 и 5.21.

Скорость аппарата уменьшилась примерно на 12% и составила на высоте 100 км 6,92 км/с. Уменьшение максимального значения конечной скорости в этой задаче по сравнению с предыдущей задачей связано с выполнением ограничения на максимальное значение удельного теплового потока.

Затраты топлива, необходимые для завершения манёвра, составили 30% от начальной массы аппарата.

Такие же результаты имели место при использовании в качестве начального приближения программ управления , полученных в предыдущей задаче, для которых поставленное в данной задаче ограничение на максимальный удельный тепловой поток также не выполняется.

Из сравнения результатов решения задач оптимального управления с известными решениями аналогичных задач, полученными с помощью принципа максимума, следует, что оптимальное двухканальное управление движением аэрокосмического аппарата на атмосферном участке поворота плоскости орбиты, полученное с применением разработанных численных методов, в целом, несмотря на несоответствие характеристик аппаратов и начальных условий движения а также другие отличия, имеет тот же характер и подчиняется тем же тенденциям, что и оптимальное, полученное с помощью принципа максимума.

Отличия управления в начале и конце траектории связано с расположением этих участков в разрежённых слоях атмосферы, где изменение управляющих зависимостей и практически не влияет на движение аппарата. Алгоритм формирования номинальных программ управления, используя информацию о близких к нулю значениях производных функционалов по управлению на участках движения в разрежённой атмосфере, изменяет управляющие зависимости на этих участках значительно медленнее, чем управление в середине траектории, проходящей в гораздо более плотных слоях атмосферы. На всех рисунках края управляющих зависимостей, относящиеся к этим участкам траектории, изображены штриховыми линиями.

Следовательно, полученные результаты являются ещё одним подтверждением работоспособности и эффективности разработанных численных методов и алгоритмов формирования номинального оптимального управления. Они свидетельствуют об их способности справляться с формированием управления при совершении достаточно сложных, с точки зрения динамики движения в атмосфере, манёвров.

Результаты моделирования формирования номинального двухканального оптимального управления также подтвердили малую чувствительность предлагаемых методов и алгоритмов к начальному приближению для кусочно-линейных управляющих зависимостей. Это достоинство численных методов и алгоритмов на основе последовательной линеаризации особенно важно при формировании трёхканального управления, поскольку выбор начального приближения опорного управления по каналу управления тягой двигателей является сложной проблемой. Используемый подход позволяет в качестве опорного движения использовать пассивное движение аэрокосмического аппарата, то есть без включения двигателей.

5.2.3. Номинальное трёхканальное управление.Возвращение аэрокосмического аппарата на орбиту спутника Земли после изменения угла пути на атмосферном участке траектории возможно только при включения маршевой двигательной установки. Следовательно, в полном объёме задача поворота плоскости орбиты в атмосфере может быть решена посредством формирования оптимального трёхканального управления, когда помимо каналов управления углами атаки и крена формируется управление силой тяги двигателей.

В отличие от двухканального управления, задача поиска оптимального трёхканального управления в настоящее время исследована недостаточно, что связано с очевидной трудностью одновременного построения программ управления по каналам угла атаки, угла крена и тяги двигателей при наличии перекрёстных связей, ограничений на управляющие зависимости, режимы движения и терминальные условия, а также с существенной нелинейностью модели, описывающей движение аэрокосмического аппарата на всех участках манёвра. Разработанные численные методы и алгоритмы позволяют преодолеть эти трудности и сформировать оптимальное трёхканальное управление.

Решение задач формирования трёхканального управления связано с достижением поставленных в монографии основных целей математического моделирования: доказательством работоспособности и эффективности разработанных численных методов и алгоритмов, выбором значений параметров численных процедур и отработкой методов повышения эффективности процесса поиска, а также с уточнением с помощью разработанной методики результатов, полученных в предположении о мгновенном изменении скорости аппарата в результате включения двигателей. На примере решения рассмотренных задач показана возможность формирования оптимального трёхканального управления без упрощающих техническую сторону вопроса допущений об импульсном характере приложения тяги.

Момент времени в задачах формирования трёхканального управления фиксировался после отражения аппарата от плотных слоёв атмосферы при выполнении условия достижения аппаратом требуемой высоты конечной орбиты или требуемого угла наклона траектории. В отличие от обеих предыдущих задач, на каждой итерации улучшения управления при выполнении одного из условий окончания траектории поворота плоскости орбиты, выполнение другого также контролировалось, то есть одно из рассматриваемых условий являлось критерием окончания траектории, а другое – одним из функционалов задачи, причём, в процессе численного решения задачи, на разных итерациях улучшения управления они могли неоднократно меняться местами.

В зависимости от выбранного критерия оптимальности рассматривались также ограничения на отклонения от требуемых конечных значений скорости или массы аэрокосмического аппарата. Если критерием оптимальности являлось конечное значение скорости, то в качестве ограничения рассматривалось конечное значение массы аппарата и наоборот.

Требуемые значения и допустимые отклонения конечных значений фазовых координат принимались равными соответственно: по высоте = 200 км и = 0,1 км, по скорости =7400 м/с и =5 м/с, по углу наклона траектории =0 и = 0,01⁰.

Следующая задача рассматривалась как усложнение предыдущих двух задач, в качестве критерия оптимальности использовалась конечная скорость , но не на условной границе атмосферы, а на высоте конечной орбиты. Требуемое значение конечной массы принималось равным 80% от начальной, а допустимое отклонение 0,25% от начальной массы , то есть =0,8 , = 0,0025 .

Задача. Найти программы управления углами атаки, крена и секундного расхода топлива двигательной установки аэрокосмического аппарата, максимизирующие конечную скорость аппарата при наличии ограничений на угол атаки, секундный расход топлива двигателей и отклонения конечных значений угла пути, высоты, угла наклона траектории и массы аппарата от требуемых значений, то есть найти

при наличии ограничений на управление

ограничений на терминальные условия

, ,

и ограничений на конечное значение массы аэрокосмического аппарата

,

где , ,

, .

Основные результаты решения этой задачи приведены на рис. 5.22 и 5.23.

На рис. 5.22 показаны полученные оптимальные управляющие зависимости по каналам изменения углов атаки, крена и секундного расхода топлива , а также зависимость высоты от времени. Отметим, что в качестве начального приближения программы управления секундным расходом топлива двигательной установки принималось значение, равное нулю, что соответствовало пассивному движению аппарата на всех участках поворота плоскости орбиты.

На рис. 5.23 изображены зависимости от времени высоты и угла пути от времени для оптимальной траектории манёвра поворота плоскости орбиты.

В следующих задачах в качестве критерия оптимальности рассматривалось конечное значение массы аппарата, которое требовалось максимизировать. В этом случае оптимизация управления по углам атаки и крена и по секундному расходу топлива обеспечивает возвращение аэрокосмического аппарата на конечную орбиту спутника Земли после поворота её плоскости в атмосфере с наименьшими затратами топлива. Из этих двух задач последняя отличалась наличием дополнительного ограничения на удельный тепловой поток в критической точке аппарата.

Задача. Найти программы управления углами атаки и крена, а также секундного расхода топлива двигательной установки аэрокосмического аппарата, максимизирующие конечную массу аппарата при наличии ограничений на угол атаки, секундный расход и на отклонения конечных значений угла пути, высоты, скорости и угла наклона траектории от требуемых значений, то есть. найти

при наличии ограничений на управление

и ограничений на терминальные условия

, ,

,

где , ,

, .

Основные результаты решения этой задачи приведены на рис. 5.24 и 5.25.

На рис. 5.24 показаны полученные оптимальные управляющие зависимости по каналам изменения углов атаки, крена и секундного расхода топлива , удовлетворяющие всем условиям задачи, а также зависимость высоты от времени. Как и в предыдущей задаче, в качестве начального приближения программы управления секундным расходом топлива двигательной установки принималось значение, равное нулю.

На рис. 5.25 изображены зависимости от времени высоты , угла пути и удельного теплового потока в критической точке аппарата от времени для оптимальной траектории манёвра поворота плоскости орбиты в атмосфере.

Затраты топлива на проведение маневра составили 24% от начальной массы аппарата.

Задача. Найти программы управления углами атаки и крена, а также секундного расхода топлива двигательной установки аэрокосмического аппарата, максимизирующие конечную массу аппарата при наличии ограничений на угол атаки, секундный расход топлива, удельный тепловой поток в критической точке и на отклонения конечных значений угла пути, высоты, скорости и угла наклона траектории от требуемых значений, то есть найти

при наличии ограничений на управление

и ограничений на удельный тепловой поток

,

и терминальные условия

, ,

,

где , ,

, .

Основные результаты решения этой задачи приведены на рис. 6.10 и 6.11.

На рис. 5.26 показаны полученные оптимальные управляющие зависимости по каналам изменения углов атаки, крена и секундного расхода топлива , удовлетворяющие всем условиям задачи, а также зависимость высоты от времени. В отличие от предыдущих задач формирования трёхканального управления в качестве начального приближения опорного управления использовались программы управления, полученные при решении предыдущей задачи, не обеспечивающие выполнения заданного ограничения на удельный тепловой поток в критической точке аэрокосмического аппарата.

На рис. 5.27 изображены зависимости от времени высоты , угла пути и удельного теплового потока от времени для оптимальной траектории манёвра поворота плоскости орбиты в атмосфере.

Затраты топлива на проведение манёвра составили 29% от начальной массы аппарата.

По результатам решения задач следует отметить, что основная трудность поиска оптимального трёхканального управления заключается в том, что даже кратковременное включение двигательной установки на любом участке траектории приводит к существенному изменению времени движения аппарата по траектории и, следовательно, к возникновению значительных ошибок в определении производных функционалов по всем каналам управления. Поэтому при решении всех задач формирования трёхканального управления применялся метод плавающих узлов, позволяющий учитывать изменение контролируемых функционалов в процессе улучшения управления при существенном изменении продолжительности траектории.

Анализ полученных результатов показывает, что для двухканального и трёхканального управления затраты топлива на совершение манёвра возрастают пропорционально значению ограничения на удельный тепловой поток.

Оптимизация трёхканального управления приводит к меньшим ожидаемым затратам топлива на совершение всего манёвра по сравнению с оптимизацией двухканального управления.

Сравнение результатов решения последних двух задач показывает, что введение ограничения на удельный тепловой поток приводит к необходимости трёхкратного включения тяги (в отличие от двукратного в импульсной постановке): первый импульс тяги расходуется на разгон аппарата при входе в плотные слои атмосферы для поддержания его на больших высотах, второй – при выходе из плотных слоёв для подъёма на высоту конечной орбиты, а третий – на увеличение скорости до орбитальной.