Теория вероятностей и элементы массового обслуживания. Математическая статистика

Задача 6.1

261. В барабане револьвера восемь гнезд, из которых в шесть вложены патроны, а два пустые. Барабан приводится в движение, в результате чего против ствола оказывается одно из гнезд. После этого нажимается спусковой крючок. Если гнездо пустое, то выстрела не происходит. Найти вероятность того, что в результате двух опытов: а) выстрела не произойдет; б) произойдет два выстрела; в) произойдет хотя бы один выстрел.

262. В лифт двенадцатиэтажного дома вошли 3 человека. Предположим, что каждый из них с равной вероятностью может выйти на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятность того, что все 3 пассажира сойдут на одном этаже; что только два пассажира сойдут на одном этаже.

263. Вероятность хотя бы одного попадания при двух выстрелах равна 0,84. Найти: а) наивероятнейшее число попаданий в серии из 7 выстрелов и модельную вероятность; б) что вероятнее: три попадания при четырех выстрелах или шесть из восьми?

264. Стрелок А поражает мишень с вероятностью 0,6, стрелок В – с вероятностью 0,5 и стрелок С – с вероятностью 0,4. Стрелки дали залп по мишени и две пули попали в цель. Чтовероятнее: попал стрелок С в мишень или нет?

265. В ящике десять стандартных деталей и пять бракованных. Наудачу извлекают три детали. Каковы вероятности того, что среди них: а) одна бракованная; б) две бракованных; в) хотя бы одна стандартная?

266. Имеются две партии однородных деталей. Первая партия состоит из 12 деталей, из которых 3 бракованных. Вторая партия состоит из 15 деталей, из которых 4 бракованных. Из первой и из второй партии извлекают по две детали. Какова вероятность, что среди них нет бракованных деталей?

267. В ящике 100 деталей, из которых 20 изготовлены первым заводом, 80 – вторым. Первый завод производит 90% хороших деталей, второй – 80%. Найти вероятность того, что две извлеченные наудачу детали окажутся хорошими.

268. Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, наудачу вынули два шара и положили их во вторую урну, содержащую 4 белых и 4 черных шара. Найти вероятность вынуть белый шар из второй урны.

269. В коробке лежат 9 теннисных мячей, из которых 6 новых. Для первой игры взяли 2 мяча, которые после игры не возвратили. Для второй игры тоже взяли 2 мяча, оказавшиеся новыми. Какова вероятность того, что для первой игры брали два старых мяча?

270. Для изделий некоторого производства вероятность удовлетворять стандарту равна 0,95. Предлагается упрощенная система испытаний, дающая положительный результат с вероятностью 0,98 для изделий, удовлетворяющих стандарту, а для изделий не удовлетворяющих стандарту, с вероятностью 0,05. Какова вероятность того, что изделие, выдержавшее испытание, удовлетворяет стандарту?

Задача 6.2

Задана непрерывная случайная величина Х своей плотностью распределения f(x). Требуется:

1. определить коэффициент А;

2. найти функцию распределения F(x);

3. схематично построить графики функций f(x) и F(x);

4. вычислить математическое ожидание и дисперсию X;

5. определить вероятность того, что Х примет значение из интервала (а, b).

Решение проверить в MathCad.

271. f(x) = a = b = 2.

272. f(x) = a = 1; b =+ .

273. f(x) = a =1; b = 2.

274. f(x) = a = b = .

275. f(x) = a = – ; b =–1.

Задана непрерывная случайная величина Х своей функцией распределения F(x). Требуется:

1. определить коэффициент А;

2. найти плотность распределения вероятностей f(x);

3. схематично построить графики функций f(x) и F(x);

4. вычислить математическое ожидание и дисперсию X;

5. определить вероятность того, что Х примет значение из интервала (а, b).

Решение проверить в MathCad.

276. F(x) = a =1; b =2.

277. F(x) = a =1; b = + .

278. F(x) = a = ; b = .

279. F(x) = a = 0; b = .

280. F(x) = a = – ; b =–1.

Задача 6.3

Нормально распределенная случайная величина Х задана своими параметрами (математическое ожидание) и (среднее квадратическое отклонение). Требуется:

а) написать плотность вероятности и схематически изобразить ее график;

б) найти вероятность того, что Х примет значение из интервала ( ; );

в) найти вероятность того, что Х отклонится (по модулю) от а не более чем на ;

г) применяя правило « 3 » найти крайние (допустимые) значения случайной величины Х.

Решение проверить в MathCad.

281. , , , , .

282. , , , , .

283. , , , , .

284. , , , , .

285. , , , , .

286. , , , , .

287. , , , , .

288. , , , , .

289. , , , , .

290. , , , , .

Задача 6.4

АТС имеет k линий связи. Поток вызовов – простейший с интенсивностью вызовов в минуту. Среднее время переговоров составляет t минут. Время переговоров распределено по показательному закону. Найти: 1) абсолютную и относительную пропускные способности АТС; 2) вероятность того, что все линии связи заняты; 3) среднее число занятых линий связи; 4) определить число линий связи АТС достаточное для того, чтобы вероятность отказа не превышала .

291. k = 5, = 0,6, t = 3,5, = 0,06.

292. k = 5, = 0,8, t = 2,9, = 0,05.

293. k = 6, = 0,7, t = 2,7, = 0,01.

294. k = 5, = 0,7, t = 3,5, = 0,05.

295. k = 5, = 0,9, t = 2,5, = 0,06.

296. k = 4, = 0,9, t = 2,1, = 0,01.

297. k = 6, = 0,8, t = 2,2, = 0,01.

298. k = 3, = 0,7, t = 3,1, = 0,06.

299. k = 5, = 0,8, t = 2,6, = 0,06.

300. k = 5, = 0,9, t = 2,8, = 0,05.

Задача 6.5

Данные наблюдений над двумерной случайной величиной (Х, У) представлены в корреляционной таблице. Методом наименьших квадратов найти выборочное уравнение прямой регрессии У на Х. Выполнить чертеж. Решение проверить в MathCad.

301.

X Y

302.

X Y

303.

X Y	9,6	9,8	10,0	10,2
19,5
20,0
20,5
21,0
21,5
22,0

304.

X Y

305.

X Y

306.

X Y

307.

X Y

308.

X Y	2,15	3,85	5,55	7,25	8,95
1,95
3,45
4,95
6,45

309.

X Y

310.

X Y
6,75
8,25
9,75
11,25
12,75

Задача 6.6

Известно эмпирическое распределение выборки объема n случайной величины Х. Проверить гипотезу о распределении по закону Пуассона генеральной совокупности этой величины. Использовать критерий согласия Пирсона (хи–квадрат) при уровне значимости = 0,05.

№
311.
312.
313.
314.
315.
316.
317.
318.
319.
320.

После изложения практической части работы студент приводит список литературы, использованной им при написании контрольной работы. В список включаются те источники, которые использовались при подготовке контрольной работы и на которые имеются ссылки в работе.

При описании литературного источника необходимо указать:

· фамилии и инициалы авторов;

· название книги, статьи;

· место издания;

· издательство;

· год издания;

· объем (сведения о количестве страниц).

Ниже приведены примеры описания некоторых видов литературных источников.

Пример. Книга одного и более авторов.

Баврин И.И. Высшая математика: Электронный ресурс. – М.: ООО Академия, 2010.

Информационные технологии в маркетинге / Под ред. Г.А. Титоренко. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000. - 335 с.

Пример. Статья из журнала.

Коржов В. Internet на космической скорости // Мир ПК, 2001. № 1. С. 86-87.

В приложениях (при необходимости) помещают вспомогательные или дополнительные материалы, которые иллюстрируют текст основной части работы. По форме они могут представлять собой текст, таблицы, графики, диаграммы, схемы, рисунки. Каждое приложение должно начинаться с новой страницы с указанием в правом верхнем углу слова «Приложение» и иметь тематический заголовок. При наличии в работе более одного приложения они нумеруются арабскими цифрами. Связь основного текста с приложениями осуществляется через ссылки (например, см. приложение 5).

Преподаватель, в соответствии с установленным графиком, осуществляет консультирование по выполнению работы. На консультациях студент обсуждает и уточняет содержание теоретической и практической частей контрольной работы.

Завершенная работа сдается преподавателю в установленные учебным графиком сроки на рецензию. Преподаватель оценивает содержание работы, степень самостоятельности ее выполнения, уровень грамотности, в рецензии отмечает положительные стороны работы и ее недостатки и определяет, допускается ли она к защите (собеседованию). Если студент не допущен к защите, то контрольная работа должна быть доработана в соответствии с замечаниям.

Собеседование позволяет выявить уровень знаний студента по выбранной теме, степень его самостоятельности в выполнении работы. В случае необходимости собеседование проводится в компьютерном зале с демонстрацией фрагментов работы на ПК. Результаты собеседования оцениваются на «зачет», «незачет».

В случае незачета студент должен внести необходимые изменения в работу и лучше подготовиться к повторной защите.