Определение напряжений в арках. Расчетное положение подвижной нагрузки на арке.

Определение напряжений в арках без учета кривизны.Применяемые в строительстве арки и своды в большинстве случа- ев пологие. Их допускается рассчитывать по приближенным формулам, т. е. считать, что напряженное состояние в сечении арки является таким же, как и в прямом, а не кривом стержне.

Нормальные напряжения в рассматриваемом сечении арки при наличии продольной силы N и изгибающего момента М (при внецентренном сжатии) определяются следующим образом:

где A – площадь поперечного сечения; J – момент инерции сече-ния относительно главной оси инерции, перпендикулярной плос- кости изгиба (как правило, оси х); y – координата точки, в кото- рой находятся напряжения.

Нормальные напряжения в крайних точках поперечного се-чения 1 и 2 (рисунок 5.27) можно вычислить по формулам

Здесь W1, W2 – моменты сопротивления для точек 1 и 2 относи-тельно главной оси инерции сечения, перпендикулярной плоско сти изгиба (оси х):

где h1, h2 – расстояния от центра тяжести поперечного сечения до верхних и нижних крайних волокон.

Для сечений, симметричных относительно двух главных осей x и у,

где h – высота поперечного сечения.

Из формул (5.23) получим

где W – момент сопротивления площади поперечного сечения от-носительно оси х.

Для арок прямоугольного сечения более удобной для расчета является преобразованная формула (5.24). Перенесем внутренние усилия в сечении M, Q, N из центра тяжести сечения в точку, удаленную от него на расстояние C=M/N Так мы избавимся от изгибающего момента M.

С учетом того, что площадь прямоугольного сечения

A=bh, а момент сопротивления W=bh²/6=Ah/6, из (5.24) получим

Как известно из сопротивления материалов [16], для сечения прямоугольной формы ядро сечения представляет собой ромб с размерами h/3 и b/3 (рисунок 5.28, б). Поэтому если |C|>h/6 (точка приложения внутренних сил Q, N лежит за пределами яд-ра сечения), то в арке будут возникать как сжимающие, так и растягивающие напряжения. Если же |c|≤h/6 (точка приложения внутренних сил находится в ядре сечения), то будут возникать только сжимающие напряжения, что особенно выгодно для арок из хрупких материалов.

Определение напряжений в арках с учетом кривизны. Арка представляет собой кривой стержень, поэтому при точном ее расчете надо учитывать кривизну. Пусть поперечное сечение симметрично относительно плоскости кривизны.

Будем использовать следующие обозначения (рисунок 5.30):

ρ₀, ρ– радиусы кривизны центральной оси (проходящей через центры тяжести поперечных сечений) соответственно в неде- формированном и деформированном состояниях;

r₀, r – радиусы кривизны нейтральной оси (где σ = 0) соответ-ственно в недеформированном и деформированном состояниях;

е – эксцентриситет, т. е. расстояние от нейтральной линии до центра тяжести сечения (e = ρ0 – r0);

y – ордината точки сечения, в которой будут определяться напряжения, отсчитываемая от нейтральной оси;

h – высота поперечного сечения.

Расчет нормальных напряжений в поперечных сечениях стержня большой кривизны производится в следующем порядке:

определяются продольная сила N в сечении и изгибающий момент M относительно оси, проходящей через центр тяже-сти поперечного сечения;

находится радиус кривизны нейтральной оси r0 при N = 0;

по формулам (5.27) или (5.28) вычисляются нормальные на-пряжения в различных точках поперечного сечения;

устанавливается знак напряжений в зависимости от знака продольной силы и направления изгибающего момента.

Расчетное положение подвижной нагрузки на арке

Раздельное использование линий влияния М и N. На оси арки выбирается ряд характерных сечений, для каждого из которых строятся линии влияния изгибающего момента М и про- дольной силы N. Далее исследуются несколько положений на- грузки на арке. Порядок расчета следующий:

определяется опасное положение нагрузки по положитель- ной части л. в. М: сосредоточенные силы располагаются над наибольшими ординатами, распределенные нагрузки – над положительным участком (см. подразд. 2.10); при этом вы- числяются значение момента и соответствующее ему значе- ние продольной силы;

аналогично определяется опасное положение нагрузки по от-рицательной части л. в. М; вычисляются значение момента и соответствующее значение продольной силы;

находится опасное положение нагрузки по л. в. N; вычисля-ются значение продольной силы и соответствующее ему зна- чение момента;

при каждом из указанных трех положений определяются нормальные напряжения в крайних точках сечения и из них выбираются численно наибольшие для каждого знака; соот-ветствующее положение нагрузки и будет расчетным для данного сечения.

Такие расчеты выполняются для каждого из характерных се-чений арки.

Заметим, что на значения напряжений наибольшее влияние оказывают изгибающие моменты, поэтому третье положение час- то не рассматривается.