Функции от случайных аргументов

Часто возникает необходимость определить не характеристики случайных величин или их законы распределения, а характеристики функции от случайных аргументов.

Любая функция от случайных аргументов является также случайной величиной, свойства которой определяются характеристиками случайных величин – такими как закон распределения, математическое ожидание, дисперсия и другие начальные и центральные моменты.

Для определения числовых характеристик функции от случайных аргументов достаточно знать законы распределения этих случайных аргументов.

Пусть задана функция Y = φ(X), при этом Х – случайная величина с известным законом распределения. Пусть х является дискретной случайной величиной с заданным рядом распределения

Х	х1	х2	...	хn
Y	Р1	Р2	...	Рn

Рассмотрим ряд вида:

Y	φ(х1)	φ(х2)	...	φ(хn)
Pi	P1	P2	...	Pn

В общем случае этот ряд не является рядом распределения величины Y, так как в нём могут повторяться значения функции φ(х_i).

Однако с помощью этого ряда можно определить числовые характеристики величины Y:

Если случайная величина непрерывна, то соответствующие характеристики определяются по формулам:

где f(x) – плотность распределения случайной величины Х.

Если функция зависит от совокупности аргументов, т.е. , где - система случайных величин, то математическое ожидание и дисперсия этой функции будет определяться по формулам:

где - плотность распределения системы.

В тех случаях, когда функция y является линейной функцией от случайных аргументов, то её числовые характеристики могут быть определены по числовым характеристикам случайных аргументов.

Числовые характеристики линейных функций от случайных аргументов определяются по теоремам о числовых характеристиках функции от случайных аргументов.

Билет

"Т₁" Пусть У = С (с – const). Тогда математическое ожидание случайной величины У равняется этой константе, то есть справедлива формула:

"Т₂" Дисперсия постоянной величины равняется 0:

"Т₃" Пусть функция - это произведение неслучайной величины на случайную. Тогда математическое ожидание произведения неслучайной величины на случайную равняется произведению неслучайной величины на математическое ожидание случайной величины, т.е.:

Доказательство: Рассмотрим случай дискретной случайной величины:

Согласно свойствам суммы, постоянную можно вынести за знак суммы:

"Т₄" Дисперсия произведения неслучайной величины на случайную равняется произведению квадрата неслучайной величины на дисперсию случайной величины, т.е.:

Доказательство: Дисперсию произведения можно представить в виде:

Согласно теореме о математическом ожидании произведения неслучайной величины на случайную, данное выражение можно записать в виде:

"Т₅" Пусть дана функция , равная сумме двух случайных величин. Тогда математическое ожидание суммы двух случайных величин равняется сумме их математических ожиданий, т.е.:

Доказательство: Рассмотрим систему двух дискретных случайных величин с известным законом распределения. Тогда математическое ожидание суммы двух случайных величин можно представить в виде:

,

где - это вероятность того, что сумма (X +Y) примет значения i и j.

На основании свойств суммы данное выражение можно записать в виде:

.

Если учесть, что , а , то математическое ожидание суммы можно заменить выражением вида:

, что и требовалось доказать.

"Т₆" Пусть дана функция . Тогда дисперсия суммы двух случайных величин будет равна сумме дисперсий этих случайных величин плюс удвоенное произведение корелляционного момента между этими случайными величинами, т.е.:

Доказательство: Представим центрированную случайную величину в виде:

Согласно определению дисперсии случайной величины, дисперсию случайных величин можно представить как математическое ожидание квадрата центрированной случайной величины :

или:

а так как , а , то:

Представим правую часть данного выражения в виде:

На основании теоремы о математическом ожидании суммы случайных величин можно записать, что дисперсия суммы равняется:

, что и требовалось доказать.

"Т₇" Математическое ожидание произведения двух случайных величин равняется произведению их математических ожиданий плюс корелляционный момент между ними.

Доказательство: Известно, что корелляционный момент между двумя случайными величинами равен математическому ожиданию произведения центрированных случайных величин:

Запишем данное выражение в виде:

На основании теоремы о математическом ожидании суммы:

Следовательно, и , что и требовалось доказать.

Очевидно, если случайные величины некореллированы, то математическое ожидание произведения этих случайных величин равняется произведению их математических ожиданий: