Теорема 4. Теорема Ляпунова.

Пусть независимые случайные величины, для которых существуют конечные и , и центральный момент третьего порядка - , причем

, (4)

тогда для имеет место равенство

, (5)

т.е. закон распределения центрированной и нормированной суммы случайных величин с достаточной степенью точности имеет нормальное распределение .

Смысл условия (4) состоит в том, что действие каждого слагаемого (случайной величины) невелико по сравнению с суммарным действием их всех. Многие случайные явления, встречающиеся в природе и в общественной жизни, протекают именно по такой схеме. В связи с этим теорема Ляпунова имеет исключительно большое значение, а нормальный закон распределения является одним из основных законов в теории вероятностей.

Примеры.

4. При стрельбе из орудия под влиянием очень большого числа причин случайного характера происходит рассеяние снарядов на некоторой площади. Случайные воздействия на траекторию снаряда можно считать независимыми. Каждая причина вызывает лишь незначительное изменение траектории по сравнению с суммарным изменением под воздействием всех причин. Поэтому следует ожидать, что отклонение места разрыва снаряда от цели будет случайной величиной, распределенной по нормальному закону.

5. По теореме Ляпунова можно предположить, что, например, рост взрослого мужчины является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Эта гипотеза хорошо согласуется с наблюдениями. В подтверждение приведено распределение по росту 1000 взрослых рабочих мужчин и соответствующие теоретические численности мужчин, т. е. число мужчин, которые должны иметь рост указанных групп, если исходить из предположения о распределении роста мужчин по нормальному закону.

Рост, см	экспериментальные данные	теоретические прогнозы
143—146
146—149
149—152
152—155
155—158
158— 161
161— 164
164—167
167—170
170—173
173—176
176—179
179 —182
182—185
185—188

Более точного совпадения экспериментальных данных с теоретическими трудно было ожидать.

Теорема 5. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.

Если - количество наступлений события А и n независимых испытаниях по схеме Бернулли, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью . Тогда для любых а и b, a<b, имеет место предельное соотношение

. (6)

Эта теорема позволяет приближенно находить вероятность того, что количество успехов заключено между и . Т.к. неравенство равносильно неравенству

, (7)

то при можно приближенно записать

,

где или, выражая интеграл через функцию Лапласа:

. (8)

Теорема 6. Локальная теорема Муавра-Лапласа.

Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний постоянна и равна , то вероятность того, что событие А наступит ровно k раз, удовлетворяет соотношению

, (9)

где .

Таким образом, для достаточно больших n и k можно приближенно вычислить

. (10)

Пример 6.

Вероятность брака при производстве изделия равна 0,01. Изготовлено 1000 изделий. Найти вероятность того, что количество бракованных изделий а) лежит в пределах от 5 до 15; б) более 20; в) равно 10.

Решение.

Используем интегральную теорему М-Л:

а)

б)

в) Используем локальную теорему М-Л:

;

Здесь - функция Лапласа.

-

формула связи функции Лапласа и стандартной функции нормального распределения . Функция Лапласа – четная, т.е.

.