Многофакторная теория полезности

В современной науке о принятии решений центральное ме­сто занимают многокритериальные задачи выбора. Считается, что учет многих критериев приближает постановку задачи к реальной жизни. Традиционно принято различать три основные задачи принятия решений.

Представим в самых общих чертах группы задач принятия решений.

Задачи первой группы

Дано: группа из n альтернатив-вариантов решения пробле­мы и N критериев, предназначенных для оценки альтернатив; каждая из альтернатив имеет оценку по каждому из критериев.

Требуется: построить решающие правила на основе пред­почтений ЛПР, позволяющие:

а) выделить лучшую альтернативу;

б) упорядочить альтернативы по качеству;

в) отнести альтернативы к упорядоченным по качеству
классам решений.

Задачи второй группы

Дано: группа из N критериев, предназначенных для оценки любых возможных альтернатив; альтернативы либо заданы частично, либо появляются после построения решающего пра­вила.

Требуется: на основании предпочтений ЛПР построить ре­шающие правила, позволяющие:

а) упорядочить по качеству все возможные альтернативы;

б) отнести все возможные альтернативы к одному из не­
скольких (указанных ЛПР) классов решений.

Примером задач первой группы является многокритериаль­ная оценка имеющихся в продаже товаров, например телевизо­ров или стиральных машин. Здесь все возможные альтернативы заданы, критерии определены ЛПР; оценки реальных альтернатив по критериям дают, как правило, эксперты. От ЛПР требует­ся построить правило сравнения объектов, имеющих оценки по многим критериям (например, сравнить стиральные машины на основании таких оценок, как цена, долговечность, стоимость эксплуатации, надежность, возможность ремонта и т. д.).

Примером задач второй группы является построение прави­ла принятия решений для государственного или частного фон­да, распределяющего ресурсы на научные исследования. Проек­ты проведения исследований еще не поступили, но критерии оценки и решающее правило должны быть определены заранее. Обычно таких проектов много, и можно предположить, что они будут достаточно разнообразны по оценкам. Критерии и ре­шающее правило определяют ЛПР. Затем уже поступают про­екты, которые оцениваются экспертами по заданным критери­ям. Решающее правило позволяет сразу же получить целостную оценку проекта.

Представленные выше две группы задач становятся весьма близки при рассмотрении в рамках первой задачи большого числа достаточно разнообразных (по своим оценкам) альтерна­тив. Но при малом числе заданных альтернатив методы реше­ния задач первой и второй групп существенно различаются.

За исключением простейших ситуаций, варианты решений и исходы оцениваются на основе целого набора критериев, факторов, целевых установок или характерных признаков. В этом разделе будут рассмотрены некоторые свойства предпочтений и функций полезности для случая, когда варианты решений или исходы из множества Х можно представить в виде вектора х=(х₁, х₂, ..., х_п), где х_i принадлежит множеству X_i(i=1,2,...n). Каждое X_i является множеством, элементами которого служат уровни или значения отдельных факторов или признаков. Некоторые X_i могут быть отнесены к факторам в данный период времени (чистый доход, общий объем проданных товаров и т.д.) или к аналогичным факторам за последовательные периоды времени (чистый доход за этот год, чистый доход за прошлый год и т. д.).

Таким образом, мы считает Х подмножеством множества, заданного в виде прямого произведения . Верхним индексом будем обозначать номер вектора в множестве X, например и . Отношение предпочтения будет определено либо непосредственно на Х, либо на множестве Р всех простых вероятностных распределений на Х.