Аксиомы рационального поведения

В [1] вводится пять аксиом и доказывается существование функции полезности. Дадим содержательное представление этих аксиом. Обозначим через х, у, z различные исходы (результаты) процесса выбора, а через р, q вероятности тех или иных исходов.

Введем определение лотереи. Лотереей называется игра с двумя исходами: исходом х, получаемым с вероятностью р, и исходом у, получаемым с вероятностью 1-р (рис.4.1).

x

Примером лотереи является подбрасывание монеты. При этом, как известно, с вероятностью р=0,5 выпадает орел или решка. Пусть х=$10 и у=—$10 (т. е. мы получаем $10 при вы­падении орла и платим столько же при выпадении решки).

y

Рис.4.1. Представление лотереи

Ожидаемая (или средняя) цена лотереи определяется по формуле рх+(1-р)у.

Приведем аксиомы рационального выбора.

Аксиома 1. Исходы х, у, z принад­лежат множеству А исходов.

Аксиома 2. Пусть Р означает строгое предпочтение (похожее на отношение > в математике); R — нестрогое предпочтение (похожее на отноше­ние ≥); I - безразличие (похожее на отношение =). Ясно, что R включает Р и I. Аксиома 2 требует выполнения двух условий:

1)связанности: либо xRy, либо yRx, либо то и другое вместе;

2)транзитивности: из xRy и yRz следует xRz.

Аксиома 3. Две представленные на рис. 4.2 лотереи находят­ся в отношении безразличия.

Справедливость этой аксиомы очевидна. Она записывается в стандартном виде как ((х, р, y)q, у) I (x, pq, у).

Рис.4.2. Две лотереи, находящиеся в отношении безразличия

Аксиома 4. Если xIy, то (х, р, z) I (у, р, z)

Аксиома 5. Если хРу, то хР(х, р, у)Ру.

Аксиома 6. Если xPyPz, то существует вероятность р, та­кая что yI(x, р, z).

Все приведенные выше аксиомы достаточно просты для по­нимания и кажутся очевидными.

В предположении, что они выполняются, была доказана следующая теорема [1]: если аксиомы 1—6 удовлетворяются, то существует численная функция U, определенная на А (множе­ство исходов) и такая, что:

1) xRy тогда и только тогда, когда U(x)> U(y);

2) U(x, р, у) = pU(x)+(l-p)U(y).

Функция U(x) измеряется на шкале интервалов. Функция U(x) - единственная с точностью до линейного пре­образования (например, если U(x)> U(y), то и aU(x) > aU(y), где а - целое положительное число).

Парадоксы выбора

Рассмотрим известный пара­докс Алле [3] (предложенный французским ученым М.Алле), представленный двумя лотереями на рис.4.3.

1 млн

1 млн

5 млн

5 млн

1 млн

Рис.. Парадокс Алле

Обозначим: U(5 млн)=1; U (1 млн)=U; U(0)=0. В левой лоте­рее есть выбор между действиями А (получить 1 млн) и В (со­гласиться на лотерею). Подавляющее большинство людей пред­почитает А. Из этого следует U>0,1 × 1+0,89× U или U>10/l=11.

В правой лотерее есть выбор между действиями С и D (две лотереи). Подавляющее большинство людей предпочитает дей­ствие С (почти та же вероятность проиграть, но выигрыш больше).Тогда 1×0,1>0,11×U, т.е U<10/11. Совершая такой выбор, люди действуют не в соответствии с функцией по­лезности.

Приведем еще один пример. Рассмотрим две лотереи, пока­занные на рис. 4.4. Легко убедиться в том, что средняя цена ло­терей одинакова. Но это не означает, что людям безразлично, какую из них выбрать. Подчеркнем, что свобода выбора остает­ся за ЛПР. Предъявление различным группам людей пар лоте­рей показало, что люди предпочитают правую лотерею, где при той же средней цене риск проигрыша исключен.

Как же можно объяснить такое поведение людей? Может быть, стоит усомниться в существовании функции полезности? Этот воцрос становится еще более существенным для задач при­нятия решений, в которых нет информации для объективного подсчета вероятностей. В таких задачах (а их гораздо больше, чем формальных задач с вазами) только эксперты могут дать значения вероятностей. Ясно, что эти значения субъективны. Потребовалось формальное обоснование теории полезности с субъективными вероятностями - теории субъективной ожидае­мой полезности [5]. Она также построена аксиоматически.

Рис. 4.4. Сравнение двух лотерей

Но и после построения этой теории остаются те же вопросы о причинах парадоксального поведения людей в задачах принятия решений, где в качестве метода выбора использовались деревья решений и максимизация субъективной ожидаемой полезности.