Аксиомы для линейной функции полезности

В данном разделе будут рассмотрены аксиомы (или условия) для отношения на множестве Р, выполнение которых означает, что существует линейная функция полезности для отношения на Р. В работе [21] предложены аксиомы (Al, А2, A3), которых достаточно для существования линейной функции полезности для отношения на Р. Другой набор аксиом {Bl, В2, ВЗ} введен в работе [33]; выполнение этих аксиом является необходимым л достаточным условием существования совершенной линейной функции полезности для отношения на множестве Р. В каждом случае X представляет собой любое непустое множество, причем не обязательно конечное или исчислимое. Аксиомы не означают, что полезность ограничена, хотя ограниченность полезности обыч­но возникает в результате применения аналогичных аксиом к не­простым распределениям вероятностей.

Как отмечалось в начале главы, первоначальная аксиоматика для совершенной функции полезности была предложена Нейма­ном и Моргенштерном в их известной книге [58], и поэтому совер­шенную линейную функцию и (или дополнительную к ней v на X) часто называют функцией полезности Неймана — Морген-штерна. Используется также выражение «полезность по Бернулли», поскольку Бернулли внес вклад в разработку этого вопроса [6].

При формулировке каждой аксиомы предполагается, что все р, q, r и s принадлежат множеству Р; в аксиомах А2 и В2 счита­ется, что а лежит строго между 0 и 1.

А1. Отношение на Р нерефлексивно.

А2. Если 0< а < 1 и р q и r s, то ар + (1 — а) r аq+ (1 — а) s.

A3. Если р q и r s, то ар -+ (1 — a) s аq + (1 — a) r для некоторого а, заключенного строго между 0 и 1.

B1. Отношение на Р является слабым упорядочением.

B2. Если 0 < а < 1 и р q, то ар +(1 — а)r аq + (1 — а) r

B3. Если р q и q r, то ар + (1 — а) r q и q (bр + (1 — b) r) для некоторых а и b, лежащих строго между 0 и 1.

Аксиомы А1 и В1 уже обсуждались выше (они означают, что отношение ациклично); А2 и В2 называют по-разному: аксио­мами независимости, аддитивности или условиями линейности. Линейные свойства функции и [см. уравнение (3)] получаются не­посредственно из этих аксиом. Рациональное обоснование аксиом А2 и В2 обычно дается следующим образом: сначала выбирают р и r с соответствующими вероятностями а и (1 — а), а затем со­ставляют выражение ар + (1 — а) r на основе ранее сделанного выбора.

Аксиомы ТПР

Прежде чем формулировать аксиомы теории принятия реше­ний, введем обозначения и определения. Простой лотереей L (х₁, р, х₂) назовем вероятностное событие, имеющее два воз­можных исхода х₁ и х₂, вероятности наступления которых обоз­начим соответственно через р и (1 —р). Символами , ~, > будем соответственно обозначать понятия «предпочтительнее», «равноценно», «равноценно или предпочтительнее». Например, если x_t~L(х₂, р, х₃), то исход х_t равноценен лотерее, которая имеет исходы х₂ с вероятностью р или х₃ с вероятностью (1 — р). Теперь сформулируем ряд аксиом теории принятия решений, которые лишь слегка отличаются от формулировок, приведенных в [60].

Аксиома 1. Существование относительных предпочтений. Для любой пары исходов х₁ и х₂ их предпочтения будут таковы, что или х₁ ~ х₂, х₁ х₂, или х₂ х₁.

Аксиома 2. Транзитивность. Для любых лотерей L₁, L₂ и L₃ справедливо следующее:

(а) если L₁ ~ L₂ и L₂ ~ L₃, то L₁ ~ L₃;

(б) если L₁ L.₂ и L₂ ~ L₃, то L₁ L₃ и т. д.

Поскольку исход можно интерпретировать как вырожденный случай лотереи (т. е. р = 1), то аксиомы 1 и 2 вместе означают, что лицо, принимающее решение, может провести ранжировку относительного предпочтения различных возможных исходов. Эти аксиомы не требуют стационарности ранжировки во времени и не утверждают, что лицо, принимающее решение, может объяснить свои предпочтения. Обозначим через х° исход, который не являет­ся более предпочтительным, чем любой другой исход, а через х* — исход не менее предпочтительный, чем любой другой. Таким образом, единственная возможность состоит в том, что х° и х* означают соответственно наименее и наиболее предпочтительные исходы, хотя они могут представлять собой гипотетические исхо­ды, такие, что х* х и х х° для всех допустимых х. Продолжим изложение аксиом.

Аксиома 3. Сравнение простых лотерей. Если для лица, при-
нимающего решения, х₁ х₂ , то

(а) L₁ (х_1, р₁, х₂) L₂ {х₁, р₂, х₂) при р₁ > р₂;

(б) L₁ (х_1, р₁, х₂) ~ L₂ {х₁, р₂, х₂) при р₁ = p₂.

Аксиома 4. Численная оценка предпочтений. Каждому воз­можному исходу х лицо, принимающее решение, может поставить в соответствие число л (х) (где 0 < л (х) < 1), такое, что х ~ L (х*, л (х), х°).

Аксиомы 3 и 4 определяют для лица, принимающего решение, меру относительного предпочтения различных исходов. Величина л (х), называемая вероятностью равноценности, является такой мерой.

Аксиома 5. Численная оценка неопределенности суждений. Каждому возможному событию Е, которое может влиять на исход решения, можно поставить в соответствие число Р (Е), где

0 ≥ P(E) ≥ 1, такое, что становятся равноценными лотерея L (х*, Р (Е), х°) и ситуация, при которой лицо, принимающее ре­шение, получает х*, если происходит событие Е, и х°, если собы­тие Е не происходит. Значение Р (Е) определяется лицом, при­нимающим решение.

Для того чтобы получить достаточно приемлемые оценки ве­роятностей событий, возможно, потребуется просмотреть боль­шое число выборок. Однако, как указывалось выше, для многих важных проблем это неосуществимо. Аксиома 5 дает механизм по­лучения вероятностей суждений для обеих ситуаций. Поскольку вероятности Р (Е) удовлетворяют аксиомам теории вероятностей, все результаты этой теории можно применить для анализа проблем.

Аксиома 6. Возможность замены. Если модифицировать задачу принятия решения путем замены одного исхода (или лоте­реи) другим исходом (или лотереей), которые равноценны для лица, принимающего решение, то обе задачи принятия решения (старая и модифицированная) будут равноценны для этого лица.

Аксиома 7. Эквивалентность условного и безусловного предпоч­тений. Пусть L₁ и L₂ — две лотереи, возможные только при на­ступлении события Е. Если известно, наступит событие Е или нет, то лицо, принимающее решение, должно иметь те же предпочтения между L₁ и L₂, как и при отсутствии этой информации.

Как уже отмечалось, мера л π(х) описывает относительные пред­почтения для х. Очевидно, что в разных ситуациях можно брать различные л-функции, поскольку граничные значения а;⁰ и х* для измерения л (х) являются достаточно произвольными. Однако, чтобы все возможные л-функции удовлетворяли предыдущим семи аксиомам, они должны сводиться одна к другой с помощью поло­жительного линейного преобразования. Любое положительное линейное преобразование л следующего вида:

и (х) = а + b л (х), b> 0, (1)

будем называть шкалой полезности для исходов х. Если лицо, принимающее решение, опирается на данные аксиомы, ему над­лежит всегда выбирать альтернативы так, чтобы максимизировать ожидаемую полезность. Согласно сформулированным аксиомам, не существует других процедур принятия решений.

Поскольку максимизация ожидаемой полезности эквивалентна максимизации ожидаемого значения л в (1), произвольный выбор» х* и х° не влияет на фактическое решение. Шкала полезности ана­логична температурным шкалам; разные шкалы, которые полу­чаются одна из другой с помощью положительного линейного* преобразования, эквивалентны с позиции их использования для целей принятия решений.