Численное интегрирование методом прямоугольников. Эффективность данного алгоритма. Привести фрагмент программы, поясняющий данный алгоритм.

Метод прямоугольников

Словесный алгоритм метода прямоугольников:

1. Весь участок [a,b] делим на n равных частей с шагом h=(b-a)/n.
2. Определяем значение y_i подынтегральной функции f(x) в каждой части деления, т.е.

1. В каждой части деления подынтегральную функцию f(x) аппроксимируем интерполяционным многочленом степени n = 0, т.е. прямой, параллельной оси OX. В результате вся подынтегральная функция на участке [a,b] аппроксимируется ломаной линией.
2. Для каждой части деления определяем площадь S_i частичного прямоугольника.
3. Суммируем эти площади. Приближенное значение интеграла I равно сумме площадей частичных прямоугольников.

Если высота каждого частичного прямоугольника равна значению подынтегральной функции в левых концах каждого шага, то метод называется методом левых прямоугольников (рис.12.3). Тогда квадратурная формула имеет вид

Рис. 12.3. Метод левых прямоугольников

Если высота каждого частичного прямоугольника равна значению подынтегральной функции в правых концах каждого шага, то метод называется методом правых прямоугольников (рис.12.4). Тогда квадратурная формула имеет вид

Рис. 12.4. Метод правых прямоугольников

Точность каждого метода прямоугольников имеет порядок h.

Алгоритм вычисления интеграла построим в виде итерационного процесса поиска с автоматическим выбором шага. На каждом шаге будем уменьшать шаг в два раза, то есть увеличивать число шагов n в два раза. Выход из процесса поиска организуем по точности вычисления интеграла. Начальное число шагов n=2.Схема алгоритма методов прямоугольников представлена на рис.12.5.

Рис. 12.5. Схема алгоритма метода прямоугольников (с автоматическим выбором шага)

Условные обозначения:

a,b - концы интервала,

- заданная точность,

с=0 - метод левых прямоугольников,

с=1 - метод правых прямоугольников,

S1 - значение интеграла на предыдущем шаге,

S - значение интеграла на текущем шаге.

Пример реализации

Формула средних прямоугольников для аналитически заданной функции, написанная на С

#include <stdio.h>#include <math.h> double f(double x){//Подынтегральная функцияreturnsin(x);//Например, sin(x)} doublerectangle_integrate(double a,double b,int n,double(*f)(double)){double result, h;int i; h =(b-a)/n;//Шагсеткиresult=0.0; for(i=1; i <= n; i++){result+= f(a + h *(i -0.5));//Вычисляем в средней точке и добавляем в сумму}result*= h; return result;} int main(void){double integral;integral=rectangle_integrate(0,2,100,f);printf("The value of the integral is: %lf \n", integral);return0;}

Численное интегрирование методом трапеций. Эффективность данного алгоритма. Привести фрагмент программы,поясняющий данный алгоритм.

Метод трапеций

Словесный алгоритм метода трапеций:

1. Интервал [a,b] делим на n равных частей с шагом h=(b-a)/n.
2. Вычисляем значение подынтегральной функции в каждой узловой точке

1. На каждом шаге подынтегральную функцию f(x) аппроксимируем прямой, соединяющей две соседние узловые точки. В результате вся подынтегральная функция на участке [a,b] заменяется ломаной линией проходящей через все узловые точки.
2. Вычисляем площадь каждой частичной трапеции.
3. Приближенное значение интеграла равно сумме площадей частичных трапеций, т.е.

Найдем площади S_i частичных трапеций:

Приближенное значение интеграла равно

Точность метода трапеций имеет порядок h².

Схема алгоритма метода трапеций представлена на рис.12.6.

Метод трапеций для оценки определенного интеграла. Величина определенного интеграла численно равна площади фигуры, образованной графиком функции и осью абсцисс (геометрический смысл определенного интеграла). Следовательно, найти – это значит оценить площадь фигуры, ограниченной перпендикулярами, восстановленными к графику подынтегральной функции f(x) из точек a и b, расположенных на оси аргумента x.

Для решения задачи разобьем интервал [a,b] на n одинаковых участков. Длина каждого участка будет равна h=(b-a)/n (см. рис.).

Восстановим перпендикуляры из каждой точки до пересечения с графиком функции f(x). Если заменить полученные криволинейные фрагменты графика функции отрезками прямых, то тогда приближенно площадь фигуры, а следовательно и величина определенного интеграла оценивается как площадь всех полученных трапеций. Обозначим последовательно значения подынтегральных функций на концах отрезков f₀, f₁, f₂,..., f_n и подсчитаем площадь трапеций

В общем случае формула трапеций принимает вид

где f_i – значение подынтегральной функции в точках разбиения интервала (a,b) на равные участки с шагом h; f₀, f_n – значения подынтегральной функции соответственно в точках a и b.

Остаточный член пропорционален длине интервала [a,b] и квадрату шага h

Согласно рис. и формуле остаточного члена, точность вычисления определенного интеграла повышается с уменьшением шага h (увеличением числа отрезков n).

Метод трапеций можно реализовать в виде процедуры или даже функции, поскольку результат вычисления определенного интеграла – скалярная величина. Параметрами программного модуля являются границы интервала (a и b) и число шагов разбиения на малые интервалы n. Для составления универсальной функции целесообразно предусмотреть вычисление подынтегральной функции f(x) во внешней процедуре – функции.

Метод трапеций — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене на каждом элементарном отрезке подынтегральной функции на многочлен первой степени, то есть линейную функцию. Площадь под графиком функции аппроксимируется прямоугольными трапециями. Алгебраический порядок точности равен 1.

Если отрезок является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по формуле

Это простое применение формулы для площади трапеции — полусумма оснований, которыми в данном случае являются значения функции в крайних точках отрезка, на высоту (длину отрезка интегрирования). Погрешность аппроксимации можно оценить через максимум второй производной

Составная формула

Применение составной формулы трапеций

Если отрезок разбивается узлами интегрирования и каждом из элементарных отрезков применяется формула трапеций, суммирование даст составную формулу трапеций

Формула Котеса

Применение формулы трапеций для равномерной сетки

В случае равномерной сетки

где — шаг сетки.

Замечательные свойства

Метод трапеций быстро сходится к точному значению интеграла для периодических функций, поскольку погрешность за период аннулируется. Метод может быть получен путём вычисления среднего арифметического между результатами применения формул правых и левых прямоугольников.