Методы теории статистических решений.

В общем случае, сигналы в системе управления являются случайными величинами из-за помех различного рода. Поэтому необходимы методы анализа и выделения полезных сигналов из смеси сигналов и помех. Причём, с математической точки зрения такая смесь может быть как аддитивной, так и мультипликативной.

Введём следующие обозначения:

Sj — классы непересекающихся состояний или значений сигналов

yi — наблюдаемые, измеряемые параметры сигналов (амплитуда, частота, фаза)

Тогда в соответствии с формулой Байеса получим:

Методы теории статистических решений. - student2.ru

Методы теории статистических решений. - student2.ru — условная вероятность состояния Sj при условии наблюдения конкретных значений параметра yi;

Методы теории статистических решений. - student2.ru — априорная вероятность состояния Sj;

Методы теории статистических решений. - student2.ru — функция правдоподобия или условная вероятность (закон распределения) значений параметра yi в состоянии Sj.

Обязательным условием реализации данной формулы являются знания (модельные или экспериментальные) функций правдоподобия.

Рассмотрим случай двух состояний (1 и 0) и одного параметра y. Рассмотрим отношения правдоподобия:

Методы теории статистических решений. - student2.ru

при условии Методы теории статистических решений. - student2.ru получим:

P(S1/y)/P(S2/y) = P(y/S1)/P(y/S2)

Графическая интерпретация отношения правдоподобия.

Методы теории статистических решений. - student2.ru

Выделим условно разделяющую поверхность (точку y0). Данная точка подразумевает, что сигналы с параметрами y ≤ y0 относятся к состоянию S1, а y > y0 к состоянию S2. Очевидно, что такие статистические решения обладают ограниченной достоверностью (или соответствующими рисками).

Для математически строгого определения точки y0 надо сформулировать соответствующие решающие правила:

а) правило максимального правдоподобия (вводит разделяющую точку y0)

Методы теории статистических решений. - student2.ru

б) пороговое правило

Методы теории статистических решений. - student2.ru

Особенностью пороговых правил является наличие области неопределенности, в пределах которой решение не может быть принято без дополнительной информации. При этом достоверность решений повышается, то есть понижаются риски ошибочных решений.

Рассмотрим правило максимального правдоподобия относительно разделяющей поверхности y0. Введём весовые коэффициенты или стоимость ошибочных и правильных решений ljk и будем учитывать априорные вероятности соответствующих состояний.

Формализуем эффективность или риски статистических решений относительно значения y0 с соответствующими знаками (см. Рис.)

Методы теории статистических решений. - student2.ru Методы теории статистических решений. - student2.ru Методы теории статистических решений. - student2.ru

       
 
правильное решение S1 → S1
 
ошибка S2 → S1
 

ошибка S1 → S2
Методы теории статистических решений. - student2.ru Методы теории статистических решений. - student2.ru

правильное решение S2 → S1

Методы теории статистических решений. - student2.ru

Для оптимизации значения y0 выполним условие экстремума dR/dy =0 при (y=y0). Тогда получим :

Методы теории статистических решений. - student2.ru

Пример:

Методы теории статистических решений. - student2.ru

Методы теории статистических решений. - student2.ru

Методы теории статистических решений. - student2.ru - средние значения соответствующих функций правдоподобия;

Методы теории статистических решений. - student2.ru - среднеквадратические отклонения функций правдоподобия.

Рассмотрим отношение правдоподобия и прологарифмируем его при Методы теории статистических решений. - student2.ru

Методы теории статистических решений. - student2.ru

С другой стороны, из условия минимума функции R получим:

Методы теории статистических решений. - student2.ru при y=y0

Приравнивая правые части данных выражений вычислим оптимальное значение величины y0:

Методы теории статистических решений. - student2.ru

при условиях P(S1) = P(S2) и ljk = lkj получим Методы теории статистических решений. - student2.ru

Последнее решение является очевидным (центр между средними значениями симметричных функций правдоподобия) и представляет вырожденный вариант, в котором не учитываются никакие дополнительные информационные факторы. В общем случае возможны следующие способы управления положением разделяющей точки y0 и, соответственно, эффективностью или рисками статистических решений:

а) максимально возможное разнесение средних значений соответствующих функций правдоподобия при определённой дисперсии этих функций

Методы теории статистических решений. - student2.ru

б) сокращение дисперсий при неизменных средних значениях соответствующих функций правдоподобия

Методы теории статистических решений. - student2.ru

Данный вариант возможен при увеличении точности соответствующих измерительных приборов.

в) изменение положения y0 за счёт учёта априорных вероятностей P(Sj)

Методы теории статистических решений. - student2.ru

В ряде случаев данный способ используется в системах криптозащиты информации, основанной на соответствующем кодировании алфавита.

г) изменение положения точки y0 за счёт влияния коэффициентов ljk:

Методы теории статистических решений. - student2.ru

При этом изменяются вероятности соответствующих ошибок первого и второго рода. Данный способ применяется при несимметричной стоимости ошибок 1 и 2 рода, в частности в системах ПВО.

Общим способом повышения эффективности решающих правил (обнаружение полезных сигналов на фоне помех) является способ увеличения информативности параметров y за счёт комплексирования множества таких параметров.

Следует отметить, что в данном конспекте рассмотрен частный вариант применения статистических методов в теории управления. Вообще область применения теории случайных процессов в САУ значительно шире – см. рекомендованную литературу.




Наши рекомендации